equação

Definição
Gráfico
Forma canônica
Máximo e mínimo
Sinal da função quadrática
Inequações do 2o grau
Exercícios de fixação
Exercícios de vestibular

1 — Funções do 2o grau

1.1

Definição
Definição 1.1.1 — Função do 2o grau. Se f : R → R for dada por:

com a, b, c ∈ R, a = 0, então diremos que f é uma função do 2o grau (ou quadrática).
Exemplo 1.1 São exemplos de funções do segundo grau:

(a) f (x) = 2x2 − 4x + 3 a = 2, b = −4, c = 3
(b) f (x) = x2 + 7x a = 1, b = 7, c = 0
1
(c) f (x) = −x2 +
2
1 a = −1, b = 0, c =
2
(d) f (x) = x2 a = 1, b = 0, c = 0

1.2

Gráfico
Propriedade 1.2.1 — Gráfico da função quadrática. O gráfico de uma função do 2o grau

é uma curva denominada parábola.
!

Em Geometria Analítica, é possível provar o motivo pelo qual a curva de uma parábola ter o formato que será exposto nos exemplos a seguir.

Exemplo 1.2 Construa o gráfico de f (x) = x2 − 3x + 2 e g(x) = −x2 + 1.

Usando-se a tabela de valores abaixo, determinaremos pontos do gráfico de f e g.

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f (x) = ax2 + bx + c

Funções do 2o grau

2 y 6

x
−1
0
1
2
3

y = x2 − 3x + 2 y = (−1)2 − 3 · (−1) + 2 y = 02 − 3 · 0 + 2 y = 12 − 3 · 1 + 2 y = 22 − 3 · 2 + 2 y = 32 − 3 · 3 + 2

⇒y=6
⇒y=2
⇒y=0
⇒y=0
⇒y=2

f
2

−1 0

1

2 3

x

y

x
−2
−1
0
1
2

y = −x2 + 1 y = −(−2)2 + 1 y = −(−1)2 + 1 y = −02 + 1 y = −12 + 1 y = −22 + 1

−2−1

⇒ y = −3
⇒y=0
⇒y=1
⇒y=0
⇒ y = −3

1 2

x

0

−3

1.2.1

Forma canônica
A fim de demonstrar certas propriedades da função do 2o grau, tomamos uma outra expressão da sua forma geral conhecida como forma canônica: c b f (x) = ax2 + bx + c = a x2 + x + a a




 2 b b2 c b2 
= a x +
−
+ x +

a
4a2 4a2 a  quadrado perfeito
2

=a

b x+ 2a x+ b
2a

2

=a

−

b2 c +
4a2 a

−

b2 − 4ac
4a2

Sendo ∆ = b2 − 4ac, temos:
Definição 1.2.1 — Forma canônica da função do 2o grau.

f (x) = a

x+

b
2a

2

−

∆
4a2

Para determinar as raízes da função quadrática, devemos resolver a equação do 2o grau: ax2 + bx + c = 0
cujo