Equação de Mathieu

O modelo matemático descreve uma formula para modularização de um sinal através de um microfone. No caso dado é utilizado um tipo específico de microfone onde, quando um sinal sonoro de frequência bate no diafragma (placa frontal do microfone), a distancia do diafragma 2ω para a placa traseira D varia com a fórmula D = [1 εcos(2ωt )], exemplo de microfone na figura 1.0. Ignorando a resistência do circuito e analisando o fato da capacitância ser inversamente proporcional a distancia entre os capacitores do microfone, obtem-se a fórmula (d2Q)/dt2) + [Q/(LC0)][1 − εcos(2ωt)] = 0
A partir das fórmulas descritas abaixo:
Corrente Momentânea i(t) = Ipeak sin(ωt+θ)
Intensidade Sonora dIL/dt = L (d2q/dt2)
Capacitancia C= QV onde a intensidade sonora é dada em w/m2 , L é dado em metros , ω(frequencia angular) em Rad/s , t em segundos e capacitancia C em F(Farad) e sendo uma fórmula de Mathieu (d2Y /dX2) + [a − 2qcos(2X)]Y = 0 onde Y = Q, X = ωt, a = (1/LC0) e 2q = [ε/(ω2LC0)] .
A equação de Mathieu deve seu nome a Émile Léonard Mathieu nascido em 15 de maio 1835 e falecido em 19 de outubro 1890, um matemático francês conhecido por seus trabalhos em teoria dos grupos e física matemática. Essa equação é aplicada em vários modelos na física, tais como: vibrações em uma membrana elíptica, pêndulo invertido, rádio frequência quádrupla, modularização de frequência, estabilidade de um corpo flutuante, dentre outras.

A condição inicial deste modelo se trata do microfone ligado, porém sem a recepção de nenhum sinal sonoro. Ao receber um sinal de som a distancia inicial entre a placa traseira e a placa frontal como mostrado na figura 1.0, é dado por D = [1 cos( 2 )], ou seja, em ε ωt quilíbrio, quando não há som o 2ωt = 0. E após captar algum som esse valor se torna maior que zero.

A equação é uma EDO homogênea linear de segunda ordem.

O método para resolver este problema é o Método do Fator Integrante(MFI) e pela transformada de