Equaçoes diferenciais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED)

Equação diferencial é uma equação que contém as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes. São classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade.

Tipos
Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes com relação a uma única variável independente.
Equações Diferenciais Parciais (EDP): envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes.

Ordem
A ordem de uma ED é a ordem da derivada de maior ordem desta equação.

Representação
Se y = y(x) uma EDO de n–ésima ordem pode ser representada como:
F(x, y,y’, y”,...,y(n)) = 0 (1)

Equações lineares e não lineares
Um EDO que pode ser escrita na forma an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1)+...+a1(x)y’+a0(x)y = g(x) é chamada de linear.
Observe que:
a) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é , a potência de cada termo envolvendo y é 1.
b) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.

Solução de uma ED
Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na ED a transforma em uma identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo.

Soluções Explícitas e Implícitas
Uma solução para uma EDO (1) que pode ser escrita na forma y = f(x) é chamada de solução explícita. Dizemos que uma relação G(x, y) = 0 é uma solução implícita de uma EDO (1) em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I.

Problema de Valores Iniciais(PVI)
Uma ED juntamente com condições subsidiárias sobre a função incógnita e suas derivadas para o mesmo valor da variável independente constitui um problema de valores iniciais.