EDOs Matemática Aplicada

Equação Diferencial aplicada à vazão de um tanque com água

Aplicação:
Suponha que no instante t = 0, um tanque contenha 7 kg de poluentes dissolvidos em 350 litros de água. Neste mesmo instante o tanque recebe 50 g de poluentes por litro a uma taxa de 12 litros por minuto. Considere ainda que exista uma válvula de escape, onde a solução misturada deixa o tanque com a mesma taxa que a água poluída é adicionada. Encontre a quantidade de poluentes no tranque após 8 minutos.

Solução: y(t)= A função que representa a quantidade de poluentes em gramas após t minutos. y(0)=7000g y(8)=?
Essa solução será determinada pela equação diferencial, cuja solução seja a função y(t). Dessa forma representa a taxa na qual a quantidade de poluentes no tanque está variando com o tempo, onde:

Taxa de entrada

Volume de água que entra é o mesmo volume que sai, então o volume do tanque sempre se mantém em 350 l. Logo a razão de saída para as y(t) gramas de poluentes no tanque será:

Taxa de saída

Logo será dado por:

Resolvendo essa equação diferencial temos: (Fator integrante)

Multiplicar todos os membros da equação pelo fator integrante.

Derivando obtemos:

Aplicando a integral em ambos os lados, temos:

Isolando o y, obteremos:

Sabemos que y(0)=7000 e t=0, aplicando a fórmula para descobrir o C.

Calculando C:

Logo, podemos escrever a equação para este caso.

Para encontrarmos a quantidade de poluentes no tranque após 8 minutos, devemos aplicar na equação o tempo t = 8.

Resposta: Após 8 minutos encontram-se 10 216,67 g de poluentes no tanque.

REFERÊNCIA

CARDOSO, Vanderlei. EDO aplicada à vazão de um tanque parte 1 e parte 2. http://www.youtube.com/watch?v=aIT3D4sz8hs. Acesso em 22 de fevereiro de 2013.