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UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Análise Matemática II
Enga Informática
Ano letivo: 2013/2014

Folha 5
Séries Numéricas (continuação)

1. Indique, justificando, a natureza das seguintes séries:
+∞

+∞

1 sen ; n (a) n=1 (b) n=1 1 − cos

+∞

1 n (c)

;

n2 + 1
;
n3 n=1 n2

(d)

2
√ ; n+ n n=1 n!
;
2n n=1 (e)

+∞

(g)

+∞

1
;
n2n n=1 (h) n=3 n + cos n
√
;
3
n4 n=1 (k)

+∞

+∞

n=1

n2

2 n n=1

√ n n
√
; n2 n − n + 1 n=1 n

;

+∞

n! − 2n−1
;
nn n=1 (l)

+∞

(o)

√ n! + n
;
(n + 1)! n=1 n! n!
;
(2n)! n=1 +∞

+∞

(q)

1 n+1 ln n n

n tg

(i)

;

4n

+∞

;

n2 + 1
√ ;
(n)
2n n n=1 1
;
3+1 n n sen

n+1 n n=1

+∞

3
(m)
ln 1 +
;
n n=1 (p)

1−

(f)

+∞

+∞

(j)

+∞

+∞

+∞

(r) n=1 n2

ln n
√
. n+1 2. Verifique se as seguintes séries alternadas são absolutamente convergentes ou simplesmente convergentes:
+∞

(−1)n

(a) n=1 +∞

n=1
+∞

(−1)n

(g) n=1 (−1)n 1 +

(b) n=1 +∞

n+2
;
n+1

(e)

2n−2 + 1
;
2n+3 + 3

(h)

2

(−1)n ln

(d)

+∞

1
;
n

(−1)n+1 n=2 1 n +∞

−n

;

1
;
ln n

(n + 1)2
;
en

(−1)n

(c) n=1 +∞

(f)

n

(−1) n
√
; n3 + 1 n=1 +∞

+∞

cos (nπ)
;
n2 n=1 1

(−1)n

(i) n=1 ln 1 +

3.(exame 04/06/12) Considere a sucessão (un )n∈N definida por un =

(n!)2
.
(2n)!

Pretende-se que conclua que lim un = 0. Para isso, proceda do seguinte modo: n un+1
.
(a) Comece por calcular lim n un
+∞

(b) Diga, justificando, o que pode concluir relativamente à natureza da série numérica

un . n=1 (c) Utilize agora a alínea anterior para justificar que lim un = 0. n 4.(exame 29/06/12) Considere a sucessão (un )n∈N definida por un =

n2n
.
(2n)!

1 n .

(a) Calcule lim n un
.
un+1
+∞

(b) Indique,