economos

Somat´ orios: propriedades e exerc´ıcios
Consideremos a seguinte soma:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 .
Existe uma forma abreviada de representar esta soma, recorrendo a um s´ımbolo, que designamos por s´ımbolo de somat´orio . Assim a soma anterior, passa a poder representar–se por 10

k2 , k=1 que se lˆe: somat´ orio desde k = 1 at´e 10, de k 2 . A letra k diz–se o ´ındice da soma (ou do somat´ orio) e pode ser substitu´ıda por qualquer outra (que n˜ao intervenha na soma), como por exemplo: i, j, l, m, n, p, etc. Diz–se assim que k ´e um ´ındice mudo. O simbolo
´e a letra grega sigma mai´ usculo do alfabeto grego.
Mais geralmente, a soma ap + ap+1 + · · · + an , n i=p

pode ser representar–se abreviadamente por limite superior, do somat´ orio. ai . Diz–se que p ´e o limite inferior e n o

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Exemplos. 1) 22 + 23 + 24 + 25 =

2i . i=2 4

k = −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 9.

2) k=−1 Propriedades dos Somat´ orios Sejam m, n ∈ N, tais que m < n e ai , bi ∈ R, para i = m, m + 1, · · · , n e c uma constante real. 1) Propriedade Aditiva n n

n

(ai + bi ) = i=m ai + i=m bi . i=m 2) Propriedade Homog´ enea n

n

(cai ) = c i=m ai . i=m 3) Propriedade Telesc´ opica n

(ak − ak+1 ) = am − an+1 . k=m Demonstra¸ c˜ ao de 1). A demonstra¸c˜ao da propriedade anterior baseia–se nas propriedades

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comutativa e associativa da adi¸c˜ao. Assim: n (ai + bi )

(am + bm ) + (am+1 + bm+1 ) + · · · + (an + bn )

=

i=m

= am + bm + am+1 + bm+1 + · · · + an + bn
= am + am+1 + · · · + an + bm + bm+1 + · · · + bn n =

n

ai + i=m bi . i=m Demonstra¸ c˜ ao de 2). n (cai )

= cam + cam+1 + · · · + can

i=m

= c(am + am+1 + · · · + an ) n = c

ai . i=m n

(ak − ak+1 ), obtemos a soma

Demonstra¸ c˜ ao de 3). Desenvolvendo o somat´orio

k=m

(am − am+1 ) + (am+1 − am+2 ) + (am+2 − am+3 ) + · · · + (an−2 − an−1 ) + (an−1 −