derivadas

Definição e notação

Seja I um intervalo aberto não-vazio e seja f:I\to\mathbb{R}, y = f(x), uma função de I em \mathbb{R}. Diz-se que função f(x) é derivável no ponto a\in I se existir o seguinte limite:3

f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

Se for esse o caso, o número real f'(a) é chamado de derivada da função f no ponto a. Notações equivalentes são:

f'(a) = \frac{d f}{dx}(a) = \left. \frac{df}{dx}\right|_{x=a}.

Equivalentemente, escrevemos:

f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

o que é obtido fazendo h = x-a no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de f(x) por:

f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

para todo x para o qual este limite existe.

Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.
Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.
Inclinação da secante ao gráfico de f Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

\frac{f(x+h)-f(x)}h.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que

(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a).

Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).
Funções com valores em R^n

Se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função de I em \mathbb{R}^n, para algum número natural n, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função

\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array} (ou seja: uma função que a