Derivadas

Definição
A derivada representa a equação da reta tangente a curva no ponto P(a, f(a)), dada pelo limite de h tendendo a 0:

A derivada de uma função f em uma variação é denotada como:
, com x próximo a 0, ou seja, a variação de x é infinitesimal.
Além disso, a derivada é a taxa de variação de alguma coisa, isto é, é a taxa instantânea de variação de y em relação a x no intervalo x.
A derivada não existe caso a função tenha uma quina - como é o caso da função - ; f(x) não é continua no ponto ou se a função tem uma tangente vertical em x=a.
Toda função que dependa de uma variação
, sendo que f(x) é a derivada de y(x);exemplo disso é a velocidade que é a primeira derivada do espaço
(
e a aceleração que é a segunda derivada do espaço (
).
Teorema: se f for diferenciável em a, então f é contínua em a.

Regras de diferenciação
1 Derivada de uma constante:

2 Regra da Potência; n sendo positivo:

3 Regra da multiplicação por constante, se c for constante e f derivável:

4 Regra da soma: se f(x) e g(x)forem ambas diferenciáveis:

5 Derivada da função exponencial natural:

6 A regra do produto: se f(x) e g(x) forem diferenciáveis:

7 A regra do quociente: se f(x) e g(x) forem diferenciáveis:

8 Derivada de funções trigonométricas:

9 A regra da cadeia: Se g for derivável em x e f for derivável em g(x), então a função composta F= f[g(x)] será derivável em x F’ será dada pelo produto:
F’(x)= f’(g(x)).g’(x)
Na notação de Leibniz, se y= f(u)-função de fora- e u=g(x) –função de dentroforem funções deriváveis, então:

10 Derivadas das funções trigonométricas inversas:

11 Derivadas de funções logarítmicas:

12 Derivação logarítmica: derivadas de funções complicadas:
Passos:
1. Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação y= f(x) e use as propriedades de logaritmos para simplificar;
2. Derive implicitamente em relação a x;
3. Isole y’ na equação resultante.

Aplicações de derivadas

1 Valores Máximos e Mínimos