derivadas

Cálculo Diferencial e Integral I
Unidade 3
A Derivada e a Derivação
Prof. Pedro Américo Jr.
Bibliografia: SWOKOWSKI, E. W.
Cálculo com geometria analítica. Capítulo 3.
1

Objetivo
• DERIVADAS E REGRAS DE DERIVAÇÃO
– Conceito de derivada como limite e sua interpretação geométrica. – Regras de derivação: adição, produto e divisão. A diferencial. – Derivadas trigonométricas.

• REGRA DA CADEIA
– Funções compostas. Exemplos.
– A Regra da cadeia. O cálculo das derivadas de funções inversas. 2

A Reta Tangente e a Derivada
• Qualquer reta que passe por dois pontos de uma curva é chamada de reta secante,. Assim a reta através de P e Q é uma reta secante.
(x = incremento de x)
Inclinação  Coeficient e Angular  mPQ 

f ( x2 )  f ( x1 ) y

x2  x1
x

f ( x2 )  f ( x1 )
x
como : x2  x1  x

Q(x2, f(x2))

y= f(x2)-f(x1)

mPQ 

mPQ 

f ( x1  x)  f ( x1 )
x

P(x1, f(x1))

x1

x2

X

x = x2-x1 3

A Reta Tangente e a Derivada
Definição : Suponhamos que a função seja contínua em x1.
A reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x1 , f(x1 )) é
(i) a reta por P tem inclinação m(x1 ), dada por f(x1  Δx)-f(x1 ) se o limite existir;
Δx 0
Δx
(ii) a reta x  x1 se m(x1 )  lim

f(x1  Δx)-f(x1 ) m(x1 )  lim  for   ou - 
Δx 0
Δx
e f(x1  Δx)-f(x1 ) m(x1 )  lim  for   ou - 
Δx 0
Δx

4

A Reta Tangente e a Derivada
Exemplo : Dada a parábola y  x 2 , ache a inclinação da reta tangente à parábola no ponto (2,4) :
Solução : f(x)  x 2 f (2  x)  f (2) m(2)  lim
x 0
x
(2  x) 2  (2) 2
 lim
x 0
x
4  4x  (x) 2  4
4x  (x) 2
 lim
 lim
x 0
x 0
x
x
x(4  x)
 lim
 lim (4  x)  4
x 0
x 0
x

5

A Reta Tangente e a Derivada
Exemplo : Dada a polinômio y  x 3  3 x  4, ache a inclinação da reta tangente ao polinômio no ponto (x1 , y1 ) :
Solução : f(x)  x 3  3x  4 f ( x1  x)  f ( x1 ) m( x1 )  lim
x 0