Derivadas

1. A derivada.
1.1 Taxa de variação média: A taxa de variação média representa o quão depressa ou devagar a função muda, de uma extremidade do intervalo para outra, em relação ao tamanho do intervalo.
Exemplo 1: Enchendo um balão:
Considere uma função que dá o raio de uma esfera em termos de seu volume.
O volume V de uma esfera de raio r é dado por V= 4πr³/3. Resolvendo para r em função de V, obtemos: r=fv=3V4π¹/³ Calcule a taxa de variação media de r em relação a V nos intervalos 0,5≤V≤1 e 1≤V≤1,5.
Taxa de variação média = f1-f0,50,5=
2((34π)¹/³ - 1,54¹/³) ≈0,26

Taxa média de variação do raio para 1≤V≤1,5 = f1,5-15=
24,54π1/3- 34π1/3≈0,18
Vemos, portanto, que taxa diminui quando o volume aumenta.
1.2 Taxa de variação Instantânea: é definida de uma função em um ponto da mesma forma que definimos a velocidade instantânea: consideramos em intervalos cada vez menores, que é chamada de derivada de f em a e denotada por f’(a).
Exemplo 2: Estime a taxa de variação instantânea do raio em relação ao volume V=1 de acordo com o Ex: 1 .

Com h = 0,001 e h= -0,01, temosos quocientes dda diferença: f1,01-f1 ≈ 0,2061 0,01 e f0,99- f1≈-0,010,2075
Com h =0,001 e h= -0,001, f1,001-f(1)0,001 ≈0,2067 e f0,999-f1-0,001 ≈0,2069
Neste caso o limite esta entre 0,2061 e 0,2075, e concluímos que o valor deve ser em torno de 0,2070.
1.3Derivada da função constante:
Ex: a)- dydx se y = ax² + bx +c= y’= a2x +b1+0= y’= 2ax +b.
1.4 Derivada da função potência:
Ex: b) fxse fx=x3 fx+h- fxh = x+h3- x³h= f(x)limh→0 =x3+3x2h+3xh2+h3-x3h= f'x= limh→0= 3x2h+3xh2+h3h = f'x limh→0 = (3x²+3xh+h²)
Quando h→0 = f ‘(x)= limh→0= (3x²+3xh+h²)=3x²

1.5 Interpretação prática da derivada:
Exemplos 1 ; Figura 1: Escada | |

podemos escrever: e portanto
. A função que descreve o comprimento da escada que pode ser apoiada sobre o muro e alcança o edifício tem como expressão:

Derivando obtemos:

Os zeros da derivada são as