Derivada

3. DERIVADA

Veremos, inicialmente, que a derivada representa a inclinação de uma curva num ponto P(x,y). Posteriormente, apresentaremos outras aplicações práticas da derivada em diversos ramos: Engenharias, Física, Economia etc.

3.1 A reta tangente

Vamos definir a inclinação de uma curva y = f(x) para, em seguida, encontrar a equação da reta tangente à curva, num dado ponto P(x,y). As ideias aqui usadas foram introduzidas na Matemática no século XVIII por Newton e Leibnitz.

Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a,b), como mostra figura abaixo:

Figura 16

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Diante disso, a inclinação da reta secante s variará.
À medida que Q vai se aproximando de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante, conforme figura a seguir.

Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P.

3.2 Definição de Derivada

3.2.1 Inclinação “a” da reta tangente

Definição. Dada uma curva y = f(x), seja P(x1,y1) um ponto sobre ela.

→ A inclinação “a” da reta tangente à curva no ponto P é a própria derivada naquele ponto

e é dada por:

Figura 17

a = f’(x)

OBS: a derivada de uma função f(x) é matematicamente expressa como ou f’(x).

Figura 18

Para melhor observação, vamos tomar como exemplo a reta r (PoP), que faz um ângulo β em relação ao eixo dos x (abscissas). Note que a tangente (que corresponde à inclinação a) dessa reta é dada pelo quociente (divisão) entre o seno e o cosseno de β, que será:

a = tgβ = senβ / cosβ = CO/CA = ∆y/∆x

a = f(xo + ∆x) – f(xo) / [(xo + ∆x) – xo]

a = f(xo + ∆x) – f(xo) / ∆x

a. ∆x = f(xo + ∆x) – f(xo) ou f(xo + ∆x) – f(xo) = a. ∆x

Chamando:
i) f(xo + ∆x) de f(x), ou somente de y ii) f(xo) de yo iii) ∆x de x - xo

a equação da reta tangente