Derivada

Por este motivo, esta operação é chamada de diferenciação, pois se refere à criação de variáveis diferenciais (usando as diferenças entre e ), neste caso e .

Diferenciabilidade[editar]
Para que as diferenciais e por conseqüência, a derivada de uma função em um determinado ponto possam existir, certas condições devem ser cumpridas pela função. Verifica-se a partir da definição de que:
Em primeiro lugar, o limite da função no ponto deve existir;
A função deve estar definida no ponto e seu valor ser igual ao limite;
Isso nos lembra a definição de continuidade. De fato, as condições acima significam que quando a função é diferenciável em um ponto, ela é também contínua no ponto.
O fato de funções derivadas serem contínuas se deve a existência do limite e do valor da função no ponto, uma vez que torna-se possível a existência do nestes casos.
Portanto, devemos em primeiro lugar verificar a continuidade de uma função para sabermos se há possibilidade da mesma ser diferenciável, se esta não for contínua temos condições de afirmar que a mesma não é diferenciável.

Regras básicas[editar]
Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas partem do princípio fundamental da definição e podem ser facilmente demonstradas através do limite da definição e teoremas de limites e funções.
T7 - Soma e subtração[editar]

Derivada da soma e subtração

Seja a função ; sua derivada é:
.
Demonstração:
Pela definição temos:

e portanto:

T8 - Multiplicação[editar]

Derivada da multiplicação

Seja a função , então sua derivada é:
.
Demonstração:
Pela definição temos:

Somamos e subtraimos na equação anterior:

e portanto:
.
T9 - Razão[editar]

Derivada da razão

Seja a função , então sua derivada é:
.
Demonstração:
Pela definição temos:

Podemos lançar mão de mais um artifício algébrico e somar e subtrair , o que nos dá:

Depois que aplicamos os limites, resulta em: