DERIVADA IMPLICITA

C´alculo Diferencial e Integral I
Derivada de Fun¸c˜ao Impl´ıcita

Luiz C. M. de Aquino [e-mail] http://sites.google.com/site/lcmaquino http://www.youtube.com/LCMAquino Derivada de Fun¸c˜ao Impl´ıcita
Introdu¸c˜
ao

Na u
´ltima aula n´os aprendemos a Regra Cadeia, que nos permite derivar fun¸c˜oes compostas.
Sejam f e g fun¸c˜oes diferenci´aveis, sendo que a imagem de g est´a contida no dom´ınio de f . A fun¸c˜ao h dada por h(x) = f (g (x)) ´e diferenci´avel e sua derivada ´e dada por h (x) = f (g (x))g (x).

Na nota¸c˜ao de Leibniz, se y = f (u) e u = g (x), ent˜ao temos que dy du dy =
.
dx du dx

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Considere que a vari´avel y depende da vari´avel x. Ou seja, que y ´e uma fun¸c˜ao de x.

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Considere que a vari´avel y depende da vari´avel x. Ou seja, que y ´e uma fun¸c˜ao de x.
Dizemos que uma fun¸c˜ao ´e expl´ıcita quando a vari´avel y est´a escrita diretamente em termos da vari´avel x. Por exemplo, a fun¸c˜ao a seguir ´e expl´ıcita: y = x 2 − 1, com x ∈ R.

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Considere que a vari´avel y depende da vari´avel x. Ou seja, que y ´e uma fun¸c˜ao de x.
Dizemos que uma fun¸c˜ao ´e expl´ıcita quando a vari´avel y est´a escrita diretamente em termos da vari´avel x. Por exemplo, a fun¸c˜ao a seguir ´e expl´ıcita: y = x 2 − 1, com x ∈ R.
Por outro lado, dizemos que uma fun¸c˜ao ´e impl´ıcita quando a vari´avel y n˜ao est´a escrita diretamente em termos da vari´avel x.
Por exemplo, a fun¸c˜ao a seguir ´e impl´ıcita: x 2 + y 2 = 1, com x ∈ [−1; 1].

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Em alguns casos, ´e poss´ıvel reescrever uma fun¸c˜ao impl´ıcita como uma fun¸c˜ao expl´ıcita (ou at´e mesmo a uni˜ao de v´arias delas). Por exemplo, note que x 2 + y 2 = 1 ⇒ y = ± 1 − x 2 , com x ∈ [−1; 1].

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