Decomposicao qr

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Capítulo III Factorização QR e mínimos quadrados

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Aula 8. Projectores e Factorização QR
Seja F um subespaço de dimensão k e {u1 , . . . , uk } uma sua base ortonormada. Recorde-se que a projecção ortogonal de v sobre o subespaço F pode ser escrita na forma

C(P) v • Pv•

vF = < u1 , v > u 1 + · · · + < uk , v > u k .
Seja

Q = [ u1 · · · uk ] ∈ IRn×k . 

Temos que, para v ∈ IRn

 uT 1  .  QQT v = [ u1 · · · uk ]  .  v . uT k  T  u1 v  .  = [ u1 · · · uk ]  .  .  < u1 , v >   . . = [ u1 · · · uk ]   . < uk , v > = < u 1 , v > u1 + · · · + < u k , v > uk = vF ,  uT v k

Figura 1. Projecção ortogonal.
Desta forma, chamamos à matriz

I − QQT = I − A(AT A)−1 AT ∈ IRn×n , matriz da projecção ortogonal sobre F ⊥ . Veriquemos que vF ⊥ = (I − QQT )v é, de facto, a projecção ortogonal de v sobre F ⊥ . Seja f ∈ F ⊥ . Fazendo o produto interno com v − (I − QQT )v temos

< v − (I − QQT )v, f > = v − (I − QQT )v
T T

T T

f

= v − v (I − QQ ) f = v T f − v T f + v T QQT f = v T (QQT f ).
(Note-se que I − QQT é simétrica.) Daqui resulta que

pelo que

vF = QQT v.

A esta matriz QQT chama-se a projecção ortogonal sobre F. Seja Q a matriz da decomposição QR de uma matriz A ∈ IRn×k , ou seja, considere-se, agora, A = QR com R ∈ IRk×k uma matriz triangular superior não singular. Note que, isto signica que cada coluna de A é a combinação linear das colunas de Q. Desta forma, como A = QR é equivalente a Q = AR−1 , vem que

< v − (I − QQT )v, f > = 0 se f ∈ F ⊥ .

É fácil de constatar que QQT e I −QQT são matrizes que vericam P 2 = P .

QQT = (AR−1 )(AR−1 )T = A(RT R)−1 AT .

= (AR−1 )((R−1 )T AT )

Denição: Uma matriz P ∈ IRn×n que verica
P2 = P chama-se um projector. Vimos, também, que as matrizes QQT e I −QQT projectam ortogonalmente sobre F e F ⊥ , respectivamente, o que motiva a seguinte denição. se

= A(R−1 (R−1 )T )AT = A(R−1 (RT )−1 )AT

Mas, porque QT Q = I , AT A = RT QT QR = RT R e

QQT =