Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II

-> Análise de funções de duas variáveis

1) LIMITE
Calcular limite pela definição: F(x,y) = Lim (h->0) [F(x+h,y) - F(x,y)]/h
Dada a função F(x,y)=x²y , determine o limite da função.
RESOLVENDO:
F(x+h,y) = (x+h)²y => (x²+2xh+h²)y => x²y+2xyh+yh²
Substituindo na função:
F(x,y) = Lim (h->0) [x²y+2xyh+yh²-x²y]/h => h(2xy+yh)/h => 2xy+yh (substitui o h por 0) => ***2xy***

2) DOMÍNIO/ GRÁFICO DA FUNÇÃO
Identificar quais são as restrições para funções que envolvem frações e/ou raiz quadrada: Para função dentro da raiz quadrada a própria função tem que ser maior ou igual à 0 e para função no denominador de uma fração a própria função tem que ser diferente de 0; para existir domínio.
O domínio é a parte do gráfico que pode ser expressa a função (Geometria).
O raio do gráfico é a raiz da constante e a circunferência são as raízes quadradas "embaixo" das variáveis (x,y).
A construção do gráfico dá-se nas extremidades da circunferência (negativo e positivo) tanto para x quanto para y e faz-se a interpretação geométrica de qual figura resultou o gráfico (Elipse, parábola, hipérbole..)

3) IMAGEM DA FUNÇÃO
A imagem é o conjunto ao qual a função pertence (Álgebra).
Exemplo: Z={Z E R/ 0 < Z < 3} ("Z" pertence aos reais para todo "Z" maior do que 0 e menor do que 3).

4) 3 CURVAS DE NÍVEL
Adotar 3 valores diferentes para Z para fazermos "cortes" no gráfico da função para identificar a figura geométrica da mesma.
Obs.: Os valores para Z tem que respeitar o limite da função para fazermos os "cortes" certos. Valores dentro dos limites estabelecidos no domínio.

5) DERIVADAS PARCIAIS DE 1ª ORDEM
Derivar a 1ª variável em função de Z depois derivar a segunda variável em função de Z: Z'(x) e Z'.
Obs.: Para derivadas de duas variáveis, quando se deriva Z em função da 1ª variável (x, por exemplo) a 2ª variável é tratada como constante nas regras de derivação. Da mesma forma, quando derivamos Z em função da 2ª variável a 1ª