Coordenadas Polares

Coordenadas Polares
Mauri C. Nascimento – Dep. De Matemática – FC – Unesp/Bauru

Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P = (a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo y. Podemos também descrever a localização de P, a partir da distância de P à origem O do sistema, e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento
OP, caso PO. Denotamos P = (r,) onde r é a distância de P a O e  o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso PO. Se P =
O, denotamos P = (0,), para qualquer . Esta maneira representar o plano é chamada
Sistema de Coordenadas Polares.

Exemplos.

Coordenadas Coordenadas cartesianas polares

(1,0)

(1,0)

(0,2)

(2,/2)

(-3,0)

(3,)

(0,-3)

(3,3/2)

(1,1)

( 2 ,/4)

(-2,-2)

2 2 ,3/4)

Para representar pontos em coordenadas polares, necessitamos somente de um ponto O do plano e uma semi–reta com origem em O. Representamos abaixo um ponto P de coordenadas polares (r,), tomando o segmento OP com medida r.

O ponto fixo O é chamado polo e a semi–reta, eixo polar.

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Em coordenadas polares, podemos ter representações diferentes para um mesmo ponto, isto é, podemos ter P = (r,) e P = (s, ) sem que r = s e  = , ou seja (r,) = (s,) não implica em r = s e  = . Assim, (r,) não representa um par ordenado, mas sim uma classe de pares ordenados, representando um mesmo ponto.
Denotamos um ponto P por (r,–), para r e  positivos, se  é tomado no sentido horário. Assim, (r,–) = (r,2–) e (r,–) é o simétrico de (r,) em relação à reta suporte do eixo polar.

Exemplo. (1,–/4) = (1, 7/4)

Denotamos P por (–r,), para r positivo, se P = (r, + ), ou seja, consideramos
(–r,) = (r,+). Assim, (–r,) é o simétrico de (r,) em relação ao polo.

Exemplo. (3,/2) = (–3,3/2)

Dado um ângulo ,  pode ser representado por +2k, para