Coordenada polar

coordenada polar -Cálculo III a
Sebasti˜o Martins Xavier a 27 de julho de 2009

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Sum´rio a
1 Coordenadas Polares 3 1.1 Rela¸˜o entre as coordenadas polares e as cartesianas . . . . . 5 ca 1.2 Gr´ficos de equa¸˜es em coordenadas polares . . . . . . . . . . 7 a co 1.3 Procedimentos pra tra¸ar gr´ficos em coordenadas polares . . 9 c a 1.4 Inclina¸˜o da reta tangente ao gr´fico em coordenadas polares ca a 9 1.5 Interse¸˜o de gr´ficos em coordenadas polares . . . . . . . . . 13 ca a ´ 1.6 Area de uma regi˜o em coordenadas polares . . . . . . . . . . 18 a 2 Fun¸˜es Vetoriais co 2.1 Fun¸˜es Vetoriais e equa¸˜es param´tricas no plano . . . . co co e 2.2 C´lculo de Fun¸˜es Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . a co 2.3 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Movimento no plano, vetor velocidade e vetor acelera¸˜o . ca 2.5 Vetores Normais e Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Fun¸˜es vetoriais e equa¸˜es param´tricas no espa¸o . . . . co co e c 2.7 Comprimento de arco e vetor tangente de curvas espaciais 3 Integra¸˜o M´ ltipla ca u 3.1 Integrais duplas sobre retˆngulos . . . . a 3.2 C´lculo das integrais iteradas . . . . . . a 3.3 Integrais duplas sobre regi˜es mais gerais o ´ 3.4 Areas pela integra¸˜o dupla . . . . . . . ca 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 . . . . . . . . . . . . . . 23 23 25 29 32 33 40 41

44 . . . . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . 46 . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 53 57 59 64 65

. . . . Integrais duplas em coordenadas polares . . . . Mudan¸a de coordenadas em integrais duplas . c Integrais Triplas em coordenadas cartesianas . . Mudan¸as de coordenadas em integrais triplas . c Coordenadas cil´ ındricas e coordenadas esf´ricas e

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Coordenadas Polares

Habitualmente localizamos pontos no plano por meio de suas coordenadas cartesianas retangulares. Nesta se¸˜o estudaremos um outro sistema de ca