Cilíndros e Superfícies Quádricas

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Vetores e a Geometria do Espaço

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Cilindros e Superfícies
Quádricas

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Cilindros e Superfícies Quádricas
Já olhamos para dois tipos especiais de superfícies – planos e esferas. Aqui, estudaremos outros dois tipos de superfícies – cilindros e superfícies quádricas.
Para esboçar o gráfico dessas superfícies é útil determinar a intersecção da superfície com planos paralelos aos planos coordenados. Essas curvas são denominadas cortes (ou secções transversais) da superfície.

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Cilindros

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Cilindros
Um cilindro é uma superfície constituída de todas as retas
(chamadas geratrizes) que são paralelas a uma reta dada e que passam por uma curva plana.

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Exemplo 1
Esboce o gráfico da superfície z = x2.
SOLUÇÃO: Observe que a equação do gráfico, z = x2, não envolve y. Isto significa que qualquer plano vertical com a equação y = k (em paralelo com o plano xz) intersecta o gráfico de uma curva com a equação z = x2. Os cortes verticais são, portanto, parábolas.

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Exemplo 1 – Solução

continuação

A Figura 1 mostra como o gráfico é formado tornando a parábola z = x2 no plano xz e movendo-se na direção do eixo y. O gráfico é uma superfície chamada de cilindro parabólico, constituída por um número infinito de cópias deslocadas da mesma parábola. Aqui, as geratrizes do cilindro são paralelas ao eixo y.

A superfície z = x2 é um cilindro parabólico.
Figura 1

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Cilindros
Observamos que a variável y não aparece na equação do cilindro do Exemplo 1. Esse fato é comum às superfícies cujas geratrizes são paralelas a um dos eixos coordenados. Se uma das variáveis x, y ou z está faltando na equação da superfície, a superfície é um cilindro.
OBSERVAÇÃO Quando estamos tratando de superfícies, é importante reconhecer que uma equação como x2 + y2 = 1 representa um cilindro e não uma