Capitulo1

Equa¸coes Diferenciais de Primeira Ordem

Introdu¸c˜ao

Equac˜oes diferenciais ´e um dos t´opicos da matem´atica com aplica¸coes em quase todos os ramos da ciˆencia. F´ısica, Qu´ımica, Biologia, Economia s˜ao algumas destas ´areas. Para entender melhor, toda equac˜ao contendo derivadas de fun¸c˜oes s˜ao chamadas de equa¸coes diferenciais. Portanto, o estudo de equa¸coes diferenciais e suas aplica¸c˜oes dependem do que se entende por derivada de uma fun¸cao, As equa¸coes abaixo s˜ao alguns exemplos de equac˜oes diferenciais que estudaremos neste e no pr´oximo cap´ıtulo.

y0 + 2xy = 3x2 , xy0 + sen x y = ex

Uma equa¸c˜ao diferencial que descreve algum processo f´ısico, qu´ımico, biol´ogico, econˆomico ... etc, ´e chamada de modelo matem´atico do processo em quest˜ao e chegar a esta equa¸cao a partir das descri¸coes destes processos ´e chamado de modelagem do problema. Chegar a este modelos e resolvˆe-los ´e o que veremos a seguir

Exemplo Considere um corpo de massa m caindo na atmosfera. Se desprezarmos a resistˆencia do ar, chamando de v sua velocidade em um determinado instante de tempo t e de a sua acelera¸cao, a u´nica for¸ca atuante ´e a do seu pr´oprio peso p = mg, onde g ´e a constante gravitacional. Pela segunda lei de Newton teremos

F = ma = p = mg =⇒

dv
= g = v(t) = gt + c dt Se o objeto partiu do repouso, sua velocidade inicial v(0) = 0, e, ent˜ao, v(t) = gt. Se o objeto partiu com uma velocidade inicial v(0) = v0, ent˜ao, v(t) = gt + v0. A equacao nos diz que toda solu¸cao v(t) tem inclina¸cao g, isto ´e, a velocidade n˜ao varia com o tempo e tem sempre a mesma inclina¸cao. Isto ´e mostrado no gr´afico abaixo, chamado de campo de direcoes ou vetores, onde desenhamos pequenos segmentos de reta com coeficiente angular g = 9, 8. Chamando de x(t) a posic˜ao do objeto em cada instante de tempo t, temos que Se o objeto parte de uma posicao inicial x(0) =