Calulo

NOTAS DE AULA

˜
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´
FUNC
¸ OES
DE VARIAS
VARIAVEIS
˜
INTEGRAC
¸ AO
Cl´audio Martins Mendes
Segundo Semestre de 2005

Sum´ ario 1 Fun¸ co ˜es de V´ arias Vari´ aveis - Integra¸ c˜ ao

2

1.1

Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Integrais M´ ultiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Mudan¸ca de Vari´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4

Algumas Aplica¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.1

Densidade - Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.2

Momento de In´ercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

Cap´ıtulo 1
Fun¸co
˜es de V´ arias Vari´ aveis Integra¸c˜ ao 1.1

Integrais Iteradas

Suponhamos que f (x, y) seja cont´ınua num retˆangulo R , a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.
Consideremos

b

F (y) =

f (x, y)dx a Prova-se que a fun¸ca˜o F ´e cont´ınua em [ c, d ]. Logo, tem sentido escrever: d d

b

F (y)dy = c f (x, y)dx dy . c a

Uma integral desse tipo ´e chamada integral iterada. z✻ c

a b x

✙

y

d

❥ y

A regi˜ao de integra¸c˜ao das integrais iteradas n˜ao precisa, necessariamente, ser um retˆangulo.
Podemos fazer integrais iteradas sobre regi˜oes como exemplificam as figuras:
2

y✻

y✻ y=g2 (x)

d x=h1 (y) x=h2 (y)

c

y=g1 (x)

a

✲

b

✲

x

Figura 1

x

Figura 2

Na figura (1) temos: b g2 (x)

f (x, y)dy dx . a g1 (x)

Na figura (2) temos: d h2 (y)

f (x, y)dx dy . c h1 (y)

Exemplos: y 1

2

1.
0

✻

2

(x2 + y 2 )dy dx = I

0
1

I=
0
1

=
0

y3 x y+
3

2

2

2x2 +

8
3

dx =
0

dx = (

1

2x3 8
+ x)
3
3

=
0

10
.
3

1

✲

x

v ✻
2

u

2.
0

u=v

✕

5u2 v dv du

0