prova calulo 1 ufmg

´
CALCULO
I - PROVA 3 - Turma N2

1. Calcule as seguintes integrais indefinidas
A.
I1 =
B.
I2 =

4x3 arctan(x2 ) dx ex √ dx 2ex − e2x

Solu¸ c˜ ao A.: Calculamos I1 usando a formula de susbtitui¸ca˜o e em seguida a formula de integra¸ca˜o por partes. Fazendo u = x2 e logo du = 2xdx
I1 =

4x3 arctan(x2 ) dx =

2u arctanu du

Integrando por partes
2u arctanu du = u2 arctan(u) −

u2 du 1 + u2

Temos agora que u2 du = −
1 + u2

1−

1 du = u − arctan u
1 + u2

Logo
I1 = u2 arctan(u)−u+arctan u = x4 arctan(x2 ) − x2 + arctan(x2 )
7 pontos

Solu¸ c˜ ao B. Calculamos I2 usando a susbtitui¸ca˜o u = ex e logo du = ex dx
I2 =

√

ex dx =
2ex − e2x

√

du
=
2u − u2

du
1 − (u − 1)2

Fazendo v = u − 1 e logo dv = du temos
I2 =

7 pontos

√

dv
= arcsen(v) = arcsen(u−1) = arcsen(ex −1)+C
1 − v2

2. Calcule a integral impr´opria
∞

I=
1

x+1 dx x + x3

Solu¸ c˜ ao Reescrevendo o integrando em fra¸c˜oes parcias temos
1
1
1
1 x x+1
=
+
=
+
−
x + x3
1 + x2 x(1 + x2 ) 1 + x2 x 1 + x2
Logo
∞

I=
1

x+1 dx = lim
K→∞
x + x3

= lim

K→∞

K→∞

ln √

K→∞

= ln

x ln √ x2 + 1

K
K2 + 1

lim

K→∞

K

=
1

K

+ arctan(x)

=
1

√
+ arctan(K) − (ln(1/ 2) + arctan(1)) =
1
1 + 1/K 2

= ln(1+ ) +

13 pontos

1

1
1
x
+
− dx 1 + x2 x 1 + x2

1 arctan(x) + ln |x| − ln(x2 + 1)
2

= lim
= lim

K

+

π ln 2 π
+
− =
2
2
4

π π ln 2
+ ln 2 = +
4
4
2

3. Calcule o volume do s´olido obtido pela rota¸c˜ao da regi˜ao do primeiro quadrante limitada pelo gr´afico da fun¸ca˜o f (x) =

1
1 + x4

pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 31/4 em torno do eixo y.
Solu¸
c˜ ao. Integrando por cascas cil´ındricas e observando o volume pedido
´e
31/4
31/4
2πx x V = dx =
2π
dx
4
4
1
+ x 1
+
x
1
1
Fazendo a mudan¸c√a de vari´aveis u = x2 e logo du = 2xdx com u variando de 1 a 3, temos
√

V =π
1
13 pontos

3

√
1
π π π2 3 du = π [arctan(u)]1 + π
−
=
1 + u2
3 4
12