CalculoMatricial Parte3 GE1415 handout

3. Determinantes
3.1. De…nição

De…nições: Seja A = aij uma matriz quadrada de ordem n.
1

2

3

Um termo da matriz A é qualquer produto de n elementos de A com um e um só elemento de cada linha e de cada coluna de A.
O sinal do termo é dado por ( 1)l +c , onde l é o número de inversões da permutação dos índices das linhas e c é o número de inversões da permutação dos índices das colunas.
O determinante da matriz A é o número real que se obtém somando todos os seus termos multiplicados pelo respectivo sinal e representa-se por jAj ou det (A).

Observação: Uma matriz quadrada de ordem n tem n! termos.

Matemática Aplicada II (Gestão de Empresas)

I. Cálculo Matricial

ISCAC – 2014/2015

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2

3 2
6 4 1
Exemplo: Seja a matriz A = 6
4 3 0
7 0

3
1 0
2 17
7.
3 95
–4 1

Um termo da matriz A, é por exemplo: a12 a24

a31

a43 = 2

1

( 4) =

3

24.

Para este termo: a permutação dos índices das linhas é (1, 2, 3, 4) . Como os índices das linhas aparecem pela ordem natural, não há inversões e logo l = 0. a permutação dos índices das colunas é (2, 4, 1, 3) . Neste caso, há inversões
(que se contabilizam da esquerda para a direita e uma só vez):
– o 2 faz
– o 4 faz
– o 1 faz
– o 3 faz logo c = 3.

inversão apenas com o 1, inversão com o 1 e com o 3, não faz inversões, não faz inversões,

Então o sinal do termo a12
Matemática Aplicada II (Gestão de Empresas)

a24

a31

I. Cálculo Matricial

a43

é

( 1 )0 +3 =

1.

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Cálculo do determinante de matrizes de ordem 1 e 2, por de…nição:
Seja A = [a11 ]. Então det (A) = a11 , pois a11 é o único termo de A, cujo sinal é +1.
Seja A =

a11 a21 a12
. Então A tem 2 termos: a22 termo a11 a22 a12 a21
Logo

det (A) =

permutação linha (1,2)
(1, 2) a11 a21

Matemática Aplicada II (Gestão de Empresas)

a12 a22 permutação sinal do parcela de coluna termo de det (A)
(1,2)
( 1)0 +0 = +1 +a11 a22 a12 a21
(2, 1)
( 1 )0 +1 = 1

= a11 a22

a12 a21 .

I. Cálculo Matricial

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Cálculo do