Folha2 SOL

I

S

C
A
Matemática Aplicada II

C

Ano Lectivo 2014/2015



Soluções da Folha no 2

2


1. (a) AX = B ⇔ 
 1
−3

2 1

(b) [A|B] = 
 1 0
−3 2
(c) S =

    x 0
   
   
0 −1 
 y  = 1.
2 1 z 0

−1 0

−1 1 
 −→ ... −→
1
0

− 34 , − 14 , − 74

1 −1



1 0 −1


 0 1 1

0 0 −4

1




−2 
.
7

.

2. (a) Sistema impossível;
(b) Sistema impossível;
(c) Sistema possível e determinado;
(d) Sistema possível e indeterminado, com grau de indeterminação igual a 2.
3. (a) –––
(b) S = (x, y, z) ∈ IR3 : x = 1 − y − z ∧ y ∧ z ∈ IR .
(c) Por exemplo: (x, y, z) = (1, 0, 0) e (x, y, z) = (0, 1, 0).
(a) (i) S = {(−1, 3, 2)}
(ii) S = {(1, 2, 1)}
(iii) S = (x, y, z) ∈ IR3 : x = z ∧ y = −2z ∧ z ∈ IR
(iv) S = (x, y, z, w) ∈ IR4 : x = w − 2z + 1 ∧ y = −2w + z + 1 ∧ z, w ∈ IR
(v) S = {}
(vi) S = (x, y, z, t, u) ∈ IR5 : x = 2u + 43 ∧ y = −2u + 13 ∧ z = −2u + 2 ∧ t = 0 ∧ u ∈ IR
(b) (i) (x, y, z) = (−1, 3, 2) ;

(ii) (x, y, z) = (1, 2, 1) ;

(iii) (x, y, z) = (0, 0, 0);

(iv) (x, y, z, w) = (1, 1, 0, 0);

(v) não tem solução particular;

(iv) (x, y, z, t, u) =

4 1
, , 2, 0, 0
3 3

.

(a) (a1) Possível e determinado para α ∈ IR\ {−1} .
(a2) Possível e indeterminado (com 1 grau de indeterminação) para α ∈ {−1} .
(a3) Impossível para α ∈ {} .
1

(b) S = (x, y, z) ∈ IR3 : x = 3z − 3 ∧ y = z − 1 ∧ z ∈ IR .


    x 1

   
   
(a) AX = B ⇔ 
 1 k 1  y  = 1.
1 1 k z 1 k 1 1

(b) –––
(c) Se k = −2, o sistema é impossível; se k = 1, o sistema é possível e indeterminado (com
2 graus de indeterminação); se k ∈ IR\ {−2, 1}, o sistema é possível e determinado. Para k = 0, S = ( 12 , 12 , 12 ) .
4. (a) Se α = 6, o sistema é possível e determinado; se α ∈ IR\ {6}, o sistema é impossível.
(b) Se α = −4, o sistema é impossível; se α = 0, o sistema é possível e indeterminado (com 1 grau de indeterminação); se α ∈ IR\ {−4, 0}, o sistema é possível e determinado.
(c) Se α = 3, o sistema é impossível; se α = 0, o sistema é possível e indeterminado (com 2