Calculo numerico

ERISOCap´ ıtulo 14

Importˆncia da integra¸˜o a ca num´rica e
14.1

Introdu¸˜o ca No pr´ximo Cap´ o ıtulo falaremos de m´todos num´ricos para o c´lculo de integrais defie e a nidas, mas antes devemos atentar para a raz˜o de sua utilidade. O C´lculo ensina que, a a para se obter b f (x)dx , a basta achar uma primitiva, isto ´, uma fun¸˜o F (x) tal que F (x) = f (x), de forma que e ca b a

f (x)dx = F (b) − F (a)

(vide Apˆndice A). e Uma fun¸˜o f ´, em geral, dada por uma “f´rmula”, que nada mais ´ do que a comca e o e bina¸˜o finita, via somas, multiplica¸˜es, divis˜es e composi¸˜es de fun¸˜es elementares. ca co o co co As fun¸˜es elementares s˜o as usuais: potˆncias de x (negativas e positivas), fun¸˜es co a e co trigonom´tricas e suas inversas, logaritmo e exponencial. e Entretanto, no mundo abstrato de todas as fun¸˜es poss´ co ıveis, essas fun¸˜es formam co apenas uma min´scula parte. Em outras palavras, a grande maioria das fun¸˜es n˜o u co a tem uma f´rmula que as represente, embora nas aplica¸˜es do ‘mundo real’ os modelos o co freq¨entemente conduzam a fun¸˜es descritas por meio de f´rmulas. u co o Mesmo se nos restringirmos apenas `s fun¸˜es dadas por f´rmulas, acabaremos por a co o nos deparar com um fato matem´tico: nem todas elas admitem uma primitiva que a tamb´m seja escrita como combina¸˜o (finita) de fun¸˜es elementares! e ca co 173

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CAP´
ITULO 14. IMPORTANCIA DA INTEGRACAO NUMERICA
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E claro que existe o recurso de se escrever a primitiva F como uma combina¸˜o ca infinita de fun¸˜es elementares, por exemplo atrav´s de uma s´rie de potˆncias co e e e
F ( x) =

∞

c k xk .

k=0

Isto ´ poss´ (em muitos casos de forma at´ razoavelmente f´cil), mas com dois incone ıvel e a venientes: primeiro, quando formos avaliar F (a) e F (b) atrav´s da s´rie (ou da f´rmula e e o infinita) pode ser necess´ria uma quantidade t˜o grande de