Cálculo numérico

Cálculo Numérico
Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo – FEAU

Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia)

VI – Integração Numérica
Objetivos: O objetivo desta aula é apresentar o método de integração numérica baseado nas fórmulas de Newton-Cotes onde aproximamos a função que se quer integrar por um polinômio cuja integração é trivial. Veremos aqui duas metodologias para cálculo de integras utilizando máquinas digitais: a regra do Trapézio e a regra 1/3 de Simpson (e suas formas repetidas que minimizam bastante o erro do procedimento).

1. Introdução

Uma forma de se obter uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo [a,b], como nos casos acima, é através dos métodos numéricos que estudaremos nessa aula. A idéia básica desses métodos de integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a,b]. Assim o problema fica resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Com esse raciocínio podemos deduzir fórmulas para aproximar
Nessa aula, as formulas que deduziremos terão a expressão abaixo:

Formulas desse tipo são chamadas de fórmulas de Newton-Cotes fehcadas:
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2. Fórmulas de Newton-Cotes

2.1 Regra do Trapézio
A idéia da regra do trapézio é aproximar a função f(x) por um polinômio de ordem 1 (reta). Veremos que, nessa aproximação a integral da função f(x) pode ser aproximada pela área de 1 trapézio.

Base maior, f(x1)

Base menor, f(x0) Altura h

Se usarmos a formula de Lagrange para expressar o polinômio interpolador de ordem 1, p1(x), que interpola f(x) nos pontos x0 e x1, teremos o seguinte:

p1 ( x ) = f ( x0 ) L0 ( x ) + f ( x1 ) L1 ( x )

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Fazendo h = (x1 – x0)/n, onde nesse caso n=1 (n é o número de subdivisões do intervalo [x1, x0]) e substituindo os fatores de Lagrange