CALCULO II 1 LISTA 2014

UNIFACS - Cursos de Engenharia
Disciplina: Cálculo Integral II

1ª Lista de Exercícios – 2014.2
1. Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar se as seguintes integrais estão corretas. (a) ∫ tg(x ) dx = − ln(cos(x )) + C = ln(sec(x )) + C
(c) ∫ e kx dx =
(e) ∫
(g)

(b) ∫ cos(7x ) dx = sen(7 x ) + c

e kx
+c
k

3

(d) ∫ x 2 e x dx =

2x dx = ln( x 2 + 1) + c x +1

∫

2

e

x

x

dx = e

x

+c

1 x3 e +c
3

3

(f)

∫ 1 + 3x 2 dx = arctg(3x ) + C

(h)

∫ 1 + cos(3t ) dx = − 3 ln | 1 + cos(3t ) | +C

sen(3t )

1

2. Use o conceito de primitiva (antiderivada) para verificar que as integrais abaixo estão corretas. 2 32 x +C
∫
3
1
1 x dx = arctg ( ) + C
c) ∫
4 + x2
2
2 x dx =

a)

∫ sec x dx = ln (sec x + tg x) + C

e)

b)

∫ ln(x )dx = xln(x) - x + C

d)

∫ xe dx = xe

f)

x

x

− ex + C

1

∫ arctg ( x) dx = x.arctg( x) − 2 ln (1 + x

2

)+C

3. Determine:
a) Uma função f(x) tal que
b) A primitiva F(x) da
c) A imagem f

f ´ (x) + 6 sen(3x) = 0

função

(2x 2 - 1) 2 f (x) = x3 e f (0) = 5 que passa pelo ponto P=(1, 3/2)

(π4 ) , sabendo-se que ∫ f( x)dx = sen x − x. cos x − 1 x 2 + C
2

4. Calcule as seguintes integrais imediatas e menos imediatas:

a)

d)
g)

∫

x 3 + 2x − 1 dx x2

∫

x2 − 1 dx x

∫ tg x dx

b)

∫ [x

x + 6 sec 2 (x ) −

e)

∫e

dx

2

h)

−3 x

x

∫ x + 2 dx

2x
] dx
3

c)

∫ [ sen ( 3x ) + 3e

f)

∫ cos (7x )

i)

∫ x − 1 dx

2x

−

2
] dx
1 + x2

dx
2

3x

1

5. a) Verifique diretamente (derivando) que:
i)

1

∫ x + 5 dx = ln(x + 5) + C

1

1

∫ 2x + 3 dx = 2 ln(2x + 3) + C

ii)

1

iii)

∫ − x + 4 dx = − ln(−x + 4) + C

v)

∫ ax + b dx

b) Baseado no item anterior, dê o valor das integrais: iii) 1

∫ − 2x + 3 dx

iv)

1

∫ 3x + 1 dx

1

6. Uma partícula move-se ao longo de um eixo s. Use a informação dada para encontrar a função-posição da partícula.
a) v(t) = t 3 − 2t 2 + 1 e s(0) = 1
b) a(t) = 4cos(2t); v(0) = −1; s(0) = −3

Integração por substituição de variáveis:
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição