Calculo do volume de esfera

CÁLCULO DO VOLUME DA ESFERA PELO MÉTODO DO
EQUILÍBRIO
Para obter o volume da esfera Arquimedes usou seu princípio do equilíbrio e utilizou três sólidos: um cone, um cilindro e uma esfera. Sendo o diâmetro do cilindro será duas vezes o diâmetro da esfera.
Os sólidos serão colocados conforme a figura abaixo.
Arquimedes primeiramente cortou transversalmente a figura e em seguida considerou seções cortadas por planos paralelos à base do cilindro. Como as seções ilustradas pela figura abaixo.

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Baseado na figura acima Arquimedes definiu:
AC e BD diâmetros da esfera iguais a 2R; EF o diâmetro do cilindro igual a
4R. Foi feito um corte paralelo a base do cilindro passando por M que encontra o diâmetro AC em S. A linha MS encontra a esfera no ponto O e o cone no ponto Q.
O ponto A é o ponto médio de HC e serve como fulcro, ou seja, serve como o ponto de apoio da alavanca de braços AH e AC, com AH = AC.
Arquimedes precisava provar o fato geométrico que: ASAC = AO²
Para isso consideraremos o triângulo AOC, que é retângulo, pois está inscrito em uma semi-circunferência.

Temos que o triângulo AOC é semelhante ao triângulo ASO pelo caso AA, logo: AC
AO
=
AO
AS
=> AS AC = AO2
Agora usando os lados AC e AS, Temos que:
AS
AC
= AS
AC
AC
AC
=
AS AC
AC

2
= 2
2
AO
AC
Considerando o triângulo ASO e aplicando o teorema de Pitágoras, temos que: AO2 = AS 2 + OS 2 , logo,
AS
AC
= 2
2
AO
AC = 2 2
2
AS OS
AC

=> AS AC2 = AC AS 2 OS 2 
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Como AC é o diâmetro da esfera e MS é o raio do cilindro, temos que, AH =
AC. Sabemos também que EF = 2AC =>2MS = 2AC => AC = MS.
Logo, AH = AC = MS.
No triângulo AQN, temos que AS é altura e mediana, portanto o triângulo
AQN é isóscele e com isso o triângulo AQS também é isóscele, logo, AS = QS.
Então, com efeito, como, AC AS 2 OS 2 = AS AC2 temos que:
ACAS² + ACOS² = ASAC² =>
AHQS² + AHOS² = ASMS²
Multiplicando se todos os membros por