calculo combinatório

07-11-2013

Estatística Aplicada à
Gestão
Cálculo Combinatório

ESGS - Soares Lopes – 13-14

Objectivo do cálculo combinatório • Chama-se “cardinal” de um conjunto A ao número de elementos desse conjunto.
– seja A={1, 3, 5, 7}, o #A=4

• A partir de um dado conjunto, e através de determinadas operações, podem obter-se outros conjuntos.
• O cálculo combinatório permite calcular o cardinal destes últimos conhecendo previamente os conjuntos de partida.
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Princípio da adição
• Dados A={2, 4, 6} e B={1, 3, 5, 7, 9} (dois conjuntos disjuntos), o #(A∪B)=#A+#B=8;
[para n conjuntos disjuntos #(A1∪A2∪…∪An)=Σ#Ai]

• Dados A={1, 2, 5} e B={1, 3, 5, 7, 9}

(dois

conjuntos não disjuntos), o #(A∪B)

= #A+#B-#(A∩B) = 8-2 = 6;

[para 3 conjuntos disjuntos:
#(A1∪A2∪A3)=Σ#Ai-Σ#(Ai∩Aj)+#(A1∩A2∩A3) c/i,j=1,2,3
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Produto cartesiano de dois ou mais conjuntos
• Dados A={2, 4, 6} e B={1, 3, 5, 7, 9} (dois conjuntos finitos e não vazios); seja C o conjunto de todos os pares formados entre elementos de A e B.
– O número de pares formados é dado por:
#C=#A⨉#B=15 pares;
[para n conjuntos #C=П#Ai]

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Número de subconjuntos de um conjunto finito
• Para um dado conjunto A={a, b, c} com 3 elementos, quantos subconjuntos podemos definir?
– os subconjuntos são:
Ø {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c}
– o conjunto das partes de A [P (A)] é o conjunto de todos os subconjuntos de A.
P (A)={Ø, {a}, {b}, {c}, {a , b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }
#P (A)=23=8
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Arranjos e permutações
• Chamam-se arranjos as sequências constituídas por elementos todos distintos. Numa sequência interessa a ordem por que os elementos aparecem.

• Chamam-se permutações dum conjunto aos arranjos constituídos por todos os elementos desse conjunto.
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