Calculo 1

UFRGS – Instituto de Matem´tica a Departamento de Matem´tica Pura e Aplicada a MAT 01353 – C´lculo e Geometria Anal´ a ıtica IA Prova 2 – 23 de maio de 2007 • Quest˜o 1 (1,5 pontos): Sabendo que f ´ a fun¸˜o definida por a e ca f (x) = 3x
2 −2x

+ 6 arctg(x2 ),

determine a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de f no ponto de abscissa 1. ca a

• Quest˜o 2 (2,0 pontos): O gr´fico da derivada da fun¸˜o f ´ dado abaixo. Sabendo que f ´ uma a a ca e e ınua em R: fun¸˜o cont´ ca y a) determine os intervalos nos quais o gr´fico de f ´ a e crescente e aqueles nos quais ´ decrescente; e b) determine os pontos onde ocorrem m´ximos relaa tivos e tamb´m aqueles onde h´ m´ e a ınimos relativos de f , caso existam; c) determine os intervalos onde o gr´fico de f ´ a e cˆncavo para cima e aqueles onde ´ cˆncavo para o e o baixo; d) esboce o gr´fico de f e indique no mesmo os pontos a com abscissas 0, 2, 3, 4 e 5, sabendo que f (0) = 6, f (2) = 1, f (3) = 4, f (4) = 1 e f (5) = 0.
–2 –1

8 7 6 5 4 3 2 1 4 1 2 3 5 6 7

x

Aten¸˜o: este ´ o ca e gr´fico da derivada de f a

Justifique suas respostas.

• Quest˜o 3 (2,5 pontos): Sabendo que f ´ a fun¸˜o definida por f (x) = x ln(x) , a e ca a) determine o dom´ ınio de f ; b) verifique se o gr´fico de f possui ass´ a ıntotas verticais e, em caso afirmativo, determine sua(s) equa¸˜o(¸˜es); ca co

2

c) determine os m´ximos e m´ a ınimos absolutos de f no intervalo [e−3 , e3 ].

• Quest˜o 4 (2,0 pontos) Uma companhia de alimentos embutidos deseja vender seus produtos em a recipientes pl´sticos fechados, que tenham a forma de cilindros circulares retos, com volume de 54π a cm3 . Determine o raio e a altura do recipiente que requer a menor quantidade de pl´stico para sua a fabrica¸˜o. ca • Quest˜o 5 (2,0 pontos): Considere a cˆnica C de equa¸˜o x2 + 2y 2 − 2x − 1 = 0. a o ca a) Determine sua equa¸˜o canˆnica (ou reduzida) e classifique-a. ca o b) Determine seus focos. c) Determine a equa¸˜o da par´bola P, sabendo que: ca a –