Calculo 1

Cálculo Diferencial e Integral I – Engenharia Mecânica – Prof.a. Ivete Baraldi

Continuidade
Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas.
(a) f é definida em a;
(b) lim f ( x ) existe; x→ a

(c) lim f ( x ) = f(a) . x→ a

Exemplos:
1–

⎧ x2 −1 x2 −1
, se x ≠ 1
⎪
em x = 1 e g ( x) = ⎨ x − 1
2 – Sejam f ( x) =
.
x −1
⎪1, se x = 1
⎩

1

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2

⎧ x
, se x ≠ 0
⎪
em x = 0.
3 – seja f ( x) = ⎨| x |
⎪0, se x = 0
⎩

Propriedades das funções contínuas
Apresentaremos agora algumas propriedades das funções contínuas, que já foram apresentadas na seção das propriedades dos limites de funções.
1.

Sejam f e g definidas no intervalo [a,b]. Se f e g são contínuas em um ponto x em [a,b], então

também o são as funções: f + g, f – g, f · g e f ÷ g, desde que g = g(x) seja não nula.
2.

As funções polinomiais, racionais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, são contínuas

em todos os pontos de seus domínios, os quais podem ser intervalos fechados, semi-abertos, abertos ou infinitos.
3.

Seja f contínua em [a,b] e Im(f) = [c,d]. Se f admite inversa g, esta inversa g será contínua em

[c,d].
4.

Se x

a implica que lim g ( x ) = b e a função f é contínua em b, então: x→a lim fog ( x) = f (b) ou seja, lim fog ( x) = lim f ( g ( x)) = f lim g ( x). x→a 5.

x→a

x→a

x→a

Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a função composta fog é contínua em a.

Teorema do Valor Intermediário (TVI)
Se f é contínua no intervalo fechado [a,b] e L é um número real tal que f(a) ≤ L ≤ f(b) ou f(b) ≤ L ≤ f(a), então existe pelo menos um ponto c em [a,b] tal que f(c) = L. (veja a figura)

Há uma conseqüência do Teorema do valor Intermediário que é muito utilizada na obtenção de zeros (raízes) de funções reais em Análise numérica.

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