Autovalores exercicio resolvido

exercício Federal Rural do Semiárido-UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação Disciplina: Álgebra Linear Aluno(a):

Turno:

Manhã

Tarde

Noite

• •

Entregar dia 04/11(Turmas manhã e tarde) Entregar dia 05/11 (Turma noite) a c b d = d b a c 1 0 , encontre: 0 0 , 0 0 −1 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 −2

1. Se T : M2×2 → M2×2 , com T

(a) A matriz da transformação na base α = (b) O polinômio característico. (c) Os autovalores e autovetores

(d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor. Solução: (a) T T T T 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 −1 0 0 0 = = = = 0 0 0 −1 0 0 −2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 =0 =0 =0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0  0 0 0 0 −1 +0 +0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 0 −1 0 0 0 +0 −1 +0 −1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 − 0 0 +0 +0 1 2 +0 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 −2 0 −2 0 0 0 −2

0 −2

= −2

+0

+0

0  −1 [T ]α =  α  0 0 (b) Como o polinômio característico não depende e encontrar a matriz nesta base.  0  1 [T ] =   0 0 −λ 1 0 0 0 −λ 1 0 0 0 −λ 1 1 0 0 −λ

0 0 0 0 −1 0 1 0 −2

 −2 0   0  0

da base escolhida, vamos tomar abase canônica 0 0 1 0 −λ 1 0 0 0 0 1  1 0   0  0 0 0 −λ 0 1 0 0 −λ 1 1 0 −λ

det

= −λ(−1)1+1

0 −λ 1 ⇒

+ 1(−1)2+1

−λ(1) · (−λ3 ) − 1(1) = 0 Polinômio característico: p(λ) = λ4 − 1.

λ4 − 1 = 0

1 -1

1 1 1

0 1 0

0 1 1

0 1 0

-1 0 p(λ) = λ4 − 1 = (λ − 1)(λ + 1)(λ − i)(λ + i).

(c) Temos apenas dois autovalores reais(−1 e 1) e dois complexos(i e −i), encontraremos apenas os autovetores reais. • Autovetores associados a λ = −1 Voltando a matriz obtida no item a), se v = (x, y, z, w) são as coordenadas deste autovetor, temos       1 0 0 −2 0 x  x − 2w = 0    −1 −x + y = 0 ⇒ x = y 1 0 0  y   0  =     0 −1 1 0   z   0   −y + z = 0 ⇒ y = z  1  1 0 w − 2 z + w = 0 ⇒ z = 2w 1 0 0 −2 Ou seja, v = (x, x, x, x). 1 0 0 −1 v=x +x +x 0 0 0 0 • Autovetores associados a λ = 1:   −1 0 0 −2 x  −1 −1 0 0 