Aula4

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Vetores
Produto Vetorial
Produto vetorial em R3, é uma operação que não existe em R2 e definimos da seguinte forma:
Se  e, então o produto vetorial de A e B, denotado por AxB, é dado por

Note que o produto vetorial entre dois vetores é também um vetor. Esta operação é chamada de multiplicação vetorial.
Exemplo
1. Dados  e, encontre A X B.
Existe um método, chamado de mnemônico, para o cálculo de uma multiplicação vetorial, definido por:

Exemplo 1
1. Use o método mnemônico, empregando a notação de determinante para encontrar o produto vetorial dos vetores do exemplo anterior.

Teorema
Se A é um vetor qualquer em R3, então
(i) 
(ii) 
(iii) 

Do teorema obtemos:

Utilizando a figura a seguir, é fácil ver que no sentido horário, o produto vetorial de dois vetores no sentido horário é o vetor seguinte positivo e o produto vetorial de dois no sentido anti-horário é o vetor seguinte negativo:

Teorema 2
Se A e B são vetores quaisquer em R3, então

Teorema 3
Se A, B e C são vetores quaisquer em R3, então

Teorema 4
SeA e B são vetores quaisquer em R3 e c um escalar, então

e

Exemplos
1. Encontre o produto vetorial do 1o exemplo, aplicando o Teorema 3 e o Teorema 4.
2. Demonstre que 

Teorema 5
Se A e B são dois vetores em R3e  é a medida em radianos do ângulo entre A e B, então

A interpretação geométrica domódulo do produto vetorial é que este é a medida da área de um paralelogramo de altura  e comprimento da base . A área é dada em unidades quadradas.
Exemplo
Mostre que o quadrilátero tendo vértices em P(1, -2, 3), Q(4, 3, -1), R(2, 2, 1) e S(5, 7, -3) é um paralelogramo e encontre sua área.

Teorema 6
Se A e B são dois vetores em R3 não-nulos, eles são paralelos se, e somente se .

Produto Misto
Se A, B e C são vetores em R3, então

Exemplo
1. Verifique a definição acima se A=(1, -1, 2), B=(3, 4, -2) e C=(-5, 1, -4).

Teorema 7
Se A e B são vetores não nulos e não paralelos em R3, então o vetor é ortogonal a AeB.