Aula3

Análise Matemática - Aula 3
Arlúcio Viana
PROMAT-UFS

26/03/2015

Arlúcio Viana (PROMAT-UFS)

Análise Matemática - Aula 3

26/03/2015

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Aplicações contínuas em compactos

Teorema
A imagem de um conjunto compacto em K ⊂ X por uma aplicação contínua f : X ⊂ RN é um conjunto compacto em RN .
Consequentemente, toda função contínua definida em um compacto possui ponto de máximo e ponto de mínimo.

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Imagens inversas por aplicações contínuas
Teorema
Sejam X ⊂ Rm e f : X → RN .
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f é contínua se, e somente se, a imagem inversa f −1 (A) é um subconjunto aberto de X, sempre que A for um subconjunto aberto de RN . f é contínua se, e somente se, a imagem inversa f −1 (A) é um subconjunto fechado de X, sempre que A for um subconjunto fechado de RN .
Se as funções f, g : X → R são contínuas, então o conjunto
A = {x ∈ X : f (x) < g(x)} é aberto, enquanto que os conjuntos
F = {x ∈ X : f (x) ≤ g(x)} e G = {x ∈ X : f (x) = g(x)} são fechados. Arlúcio Viana (PROMAT-UFS)

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Aplicações contínuas em compactos

Teorema
Sejam ϕ : K → RN contínua no compacto K ⊂ Rm e L = ϕ(K) a imagem de ϕ. Uma aplicação f : L → Rl é contínua se, e somente se, f ◦ ϕ : K → Rl é contínua.

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Aplicações uniformemente contínuas

A aplicação f : X ⊆ Rm −→ RN é dita uniformemente contínua no conjunto X se ∀ > 0, ∃δ > 0, dados x, y ∈ X, x − y < δ ⇒ f (x) − f (y) < .

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Aplicações uniformemente contínuas

Teorema
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A aplicação f : X ⊆ Rm −→ RN é uniformemente contínua no conjunto se, e somente se, para todo par de sequências (xk ), (yk ) em X tal que lim xk − yk = 0, tem-se lim f (xk ) − f (yk ) = 0.
Toda aplicação contínua definida em um compacto é uniformemente contínua.

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