Aula 1 Numeros reais

Cálculo 1 – FACEAR
Aula 1
Conjuntos Numéricos

Professor: Guilherme Fernandes de Souza Miguel

Introdução:
Todos os números que conhecemos podem ser divididos em grupos segundo características comuns entre eles, isto é, os números estão agrupados em conjuntos - os conjuntos numéricos.
O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, é o conjunto dos números naturais. Ele é formado por números inteiros e positivos, mais o zero. Assim, a partir do zero, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos os números naturais.
Representação: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Porém este conjunto é limitado para algumas aplicações, por exemplo pensando em um sistema bancário primitivo.
Então foi criado o sistema de números inteiros, que é formado pelos números pelos inteiros negativos positivos e zero. Representação: ℤ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Com o passar dos anos o conjunto de números inteiros se mostrou insuficiente para todas as necessidades humanas e assim foi criado o conjunto de números racionais. Neles estão incluídos os números inteiros, os
1

1

5

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decimais ( 1,5 por exemplo ), as frações ( por exemplo), as dízimas periódicas ( = 0.3333333 … ) e pode ser definido como o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração.
Representação: ℚ = {

𝑎
𝑏

1 1 1

∶ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 ; 𝑏 ≠ 0} ou {...,1.5,0.5,0.25,...,2 , 4 , 3 , … ,0.333 … }

Com o passar dos anos, os matemáticos se depararam com um outro tipo de problema: qual é a medida da diagonal do quadrado de lado 1?
Pelo teorema de Pitágoras, sabe-se que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:

Hipotenusa

Catetos
𝑑2 = 12 + 12 => 𝑑2 = 2 => 𝑑 =?
Então temos a pergunta: Qual número racional que elevado ao quadrado é igual a dois?
Resposta: Não existe número racional que, elevado ao quadrado, resulte em 2, nem em 3, nem em 5 e muitos outros. Surge, então, um novo conjunto - o dos números irracionais. Esse conjunto é constituído,