ATPS Calculo 2

Etapa 2, passo 2.

Série harmônica ( Matemática )
Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida como:

O nome harmônica é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4

Esta série diverge lentamente. A demonstração faz-se tendo em conta que a série

é termo a termo maior que ou igual à série

Curiosidades

O fato de a série harmônica ser divergente é notável e jamais seria descoberto por meios experimentais. Foram umas das primeiras séries a se descobrir em que o termo geral pode tender a zero sem que a série seja convergente. Isso ocorreu por volta do século XIV e a descoberta foi feita por Oresme. Se fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo, como um ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, nesse período de tempo teríamos somado os 31.557.600 primeiros termos, obtendo como resultado um valor um pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos a pouco mais de 22. Como se vê, esses números são muito pequenos para indicar que a soma é divergente (tende a infinito). Mas não paremos por aqui. Suponha que exista um computador que pode fazer uma soma em 10−23 segundos, que é o tempo gasto pela luz para percorrer a distância igual ao diâmetro de um elétron. Tal computador seria o mais rápido do universo, pois a velocidade da luz é a máxima neste. Se tal computador fosse somar todas as partes que pudesse da série harmônica em um ano, teria somado 315.576x1025 termos; em mil anos 315.576x1028; e em um bilhão de anos 315.576x1034 termos! Os resultados aproximados que obteríamos, em cada um dos casos, respectivamente seria: 70,804 ; 77,712 e 91,527. Imagine agora que esse computador estivesse ligado desde a origem do universo, há cerca de 15 bilhões de anos. Ele estaria hoje obtendo o valor aproximado de 94,235 para a soma da série harmônica. Vamos além! O número 1080 é maior que todos os valores anteriores, superando até a quantidade de