ATIVIDADE 1 AULA 1 NUMEROS COMPLEXOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
INSTITUTO UFC VIRTUAL

LICENCIATURA PLENA DE MATEMÁTICA - PÓLO DE QUIXADÁ
DISCIPLINA: NUMEROS COMPLEXOS
PROFESSOR:
NOME: JOSINEUDO GONÇALVES DOS SANTOS
DATA: 01/08/2013

NUMEROS COMPLEXOS
Aula 01

QUIXADÁ – CE
2013.2
1. Para , determine:
a) = (0,1).(0,1) = (0 - 1, 0 + 0) = (-1,0)
b) = z.z² = (0,1).(-1,0) = (0 – 0, 0 - 1) = (0,-1)
c) = z . z³ = (0,1) . (-1,-1) = (0 + 1, 0 + 1 ) = (1, 1)
d) = z.z4 = (0,1) . (1,1) = (0 – 1, 0 + 1) = (-1, 1)

2. Sejam e . Determine:
a) tal que
(x,y) + (1,1) = (1, -1)
(x +1, y + 1) = (1 , -1) x + 1 = 1 x = 0 y + 1 = -1 y = -2 z = (0, -2)

b) tal que
(1,1).(x,y) = (1,-1)
(x – y, y + x) = (1 , -1)
X – y = 1
Y + x = -1
2x = 0
X = 0
0 – y = 1
Y = -1
W = (0,-1)
3. Resolva as equações em .
a)
2(x,y) + (2,5) = (-1 , -2)
(2x + 2, 2y + 5) = (-1,-2)
2x +2 = -1 e 2y + 5 = -2
2x = -3 2y = -7
X = -3/2 y = -7/2
Z = (-3/2, -7/2)
b)
(x,y)(1,-1) = (0,0)
(X + y,-x + y) = (0,0)
X + y = 0
-x + y = 0
2y = 0
Y = 0
X = 0
Z =(0,0)

c)
(x,y)(1,-1) = (x,y)
(x + y, -x + y) = (x,y)
X + y = x
Y= 0
-x + y = y
X = 0
Z = (0,0)

d)
(x,y)(x,y) = (-1,0)
X² - y², 2xy = (-1,0)
X² - y² = -1
2xy = 0

4. Verifique as identidades, para .
a)
(z - w)(z³ + wz² + w²z + w³)=
(Z4 + wz³ + w²z² + w³z - wz³ - w²z² - w³z - w4)=
(z4 – w4)

b)
(Z5 + wz4 + w²z3 + w³z² + w4z – wz4 – w²z³ - w3z² - w4z – w5)
(z5 – w5)

5. Prove que

para todo e . Sabendo que (1,0) = z0 = 1, temos então: 1 – zn+1 / 1 – z = 1 + z + z² ... zn.
Conforme visto anteriormente, 1 – zn+1 = 1n+1 – zn+1 .
Chegando então a conclusão que:
(1- z)( 1 + z + z² ... zn) / 1 – z = 1 + z + z2 ... zn ou (1,0 + z ... zn)

6. Se e em , prove que e conclua que .

(zw)-1 = 1 / zw = 1/z . 1/w = z-1w-1
(z/w)-1 = 1 / z/w = 1/z . w/1 = w / z

7. Prove que: i); ii) sejam quais forem , .
i) Znzm = zm+n
Por indução, temos: para m = 1 Znz1 = z1+n
Para m = k + 1
Znzk+1 = zk + 1+n = z(k + 1) + n

ii) (zn)m = znm
para