Aps matematica discreta

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática

ANÁLISE I Resumo dos Resultados sobre Sequências Definição 1. A sequência {an} converge se existe um número real L tal que, qualquer que seja ε > 0, existe algum inteiro positivo N tal que n ≥ N ⇒ |an – L| < ε . Neste caso, dizemos que a sequência {an} converge para L e escrevemos lim an = L n →∞

Se não existir um número real L com esta propriedade, diremos que a sequência diverge. As propriedades de limites de seqüências são semelhantes às propriedades de limites de funções. Teorema 1. (Propriedades de Limites) Seja α um número real qualquer e suponha que lim an = A e lim bn = B . n →∞ n →∞

Então: a. lim α = α . n →∞

b. lim (αan ) = α A . n →∞

c.

n →∞ n →∞ n →∞

lim (an + bn ) = A + B .

d. lim (an − bn ) = A − B . e.

lim (an bn ) = AB .

a  A f. Se B ≠ 0, lim  n  = . n →∞  bn  B
Teorema 2. Se f for uma função real definida no intervalo [1, ∞) tal que f (x) → L quando x → ∞ e se, para cada inteiro positivo n, an = f (n), então lim an = L . n →∞

Teorema 3. (Teorema do Sanduíche) Se {an}, {bn} e {cn} são sequências tais que an ≤ bn ≤ cn com an → L e cn → L, então bn → L. Teorema 4. Se {an} é uma seqüência qualquer, |an| → 0 se e somente se an → 0. Definição 2. Seja {an} uma seqüência e n0 um inteiro positivo. Então: {an} é crescente para n ≥ n0 se an+1 ≥ an para todo n ≥ n0; {an} é estritamente crescente para n ≥ n0 se an+1 > an para todo n ≥ n0; {an} é decrescente para n ≥ n0 se an+1 ≤ an para todo n ≥ n0; {an} é estritamente decrescente para n ≥ n0 se an+1 < an para todo n ≥ n0. Teorema 5. Seja {an} tal que an > 0 para todo n ≥ n0. Então: a 1. {an} é crescente para n ≥ n0 se e somente se n +1 ≥ 1 para todo n ≥ n0. an a 2. {an} é estritamente crescente para n ≥ n0 se e somente se n +1 > 1 para todo n ≥ n0. an

1

3. {an} é decrescente para n ≥ n0 se e somente se 4. {an} é