aproximacao linear

6. PLANOS TANGENTES
Definição 7. Se P0 ( x 0 ,y 0 ,z0 ) fórum ponto de uma superfície S, e se as retas tangentes a todas as curvas sobre a superfície que passam por P0 estão situadas em um plano comum, tal plano é denominado plano tangente à superfície em P0 , e a reta que passa por P0 que é perpendicular ao plano tangente é denominada de reta normal à superfície em P0 , z y x Teorema 6: Seja P0 ( x 0 ,y 0 ,z0 ) um ponto qualquer em sobre a superfície z = f ( x, y ) . Se f(x,y) for diferenciável em ( x 0 ,y 0 ) , então a superfície tem um

plano tangente em P0 e este plano tem a equação: f x ( x 0 , y 0 )( x − x 0 ) + f y ( x 0 , y 0 )( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0

Exemplo 38: Determine: a) uma equação para o plano tangente ao gráfico de f ( x, y ) =

x2 y no ponto do gráfico correspondente a x = 2 e a y = 1 . x 3 + y3

b) As equações paramétricas para a reta normal a superfície nesse ponto.

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DIFERENCIAIS TOTAIS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS.
Seja z = f ( x, y ) . Se ∆x e ∆y são os incrementos em x e y , respectivamente, então as diferenciais nas variáveis independentes x e y são dx = ∆x e dy = ∆y e a diferencial total de f , denotada por df ou dz é

df = f x dx + f y dy , ou df =

∂f
∂f
dx + dy .
∂x
∂y

Observação 7. Se w = f ( x, y , z ) , então dx = ∆x , dy = ∆y dw =

e dz = ∆z e

∂f
∂f
∂f dx + dy + dz é a diferencial total de f .
∂x
∂y
∂z

Exemplo 39. Se f ( x, y ) = x 2 y , calcule df .

Exemplo 40. Seja w = x 2 + y 2 + z 2 . Calcule dw .

APROXIMAÇÃO LINEAR LOCAL
Sendo z = f ( x, y ) diferenciável,
∆z = f x dx + f y dy + ε 1∆x + ε 1∆y .

Ou seja, ∆z = df + ε 1∆x + ε 1∆y . Assim para ∆x e ∆y pequenos, temos que
∆z ≅ df .

Ou seja,

f ( x 0 + ∆x, y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 ) ≅ f x ( x 0 , y 0 )dx + f y ( x 0 , y 0 )dy

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Fazendo

x 0 + ∆x = x e y 0 + ∆y = y , teremos, f ( x, y ) ≅ f ( x 0 , y 0 ) + f x ( x 0 , y 0 )( x − x 0 ) + f y ( x 0 , y 0 )( y − y 0 ) = L( x, y )
que