Calculos

Capítulo 3

Sistemas de equações lineares
Os sistemas de equações lineares fazem parte da descrição matemática dos mais diversos fenômenos em todas as áreas das ciências naturais e também são peça fundamental de diversos algoritmos utilizados em computação. Por exemplo, mais adiante na disciplina, veremos que através da discretização dos domínios onde está definida uma equação diferencial é possível reduzi-la a um sistema de equações lineares. Em outras aplicações como mecânica dos fluídos e mecãnica estrutural, não é incomum trabalhar com sistemas de ordem 105 ou mais. Devido a sua quase onipresença , é muito importante poder contar com técnicas que encontre a solução para os sistemas de modo eficiente e acurado. Atualmente podemos contar com software de alta qualidade para resolver sistemas de equações lineares e ainda hoje este assunto está sendo ativamente pesquisado. Principalmente a resolução de sistemas muito grandes em “clusters” de computadores e computadores com processadores vetoriais. Para melhor compreender e utilizar esses softwares é essencial conhecer as propriedades dos algoritmos mais simples. Vamos nos concentrar no estudo de sistemas de n equações e n incógnitas x1 , x2 , . . . , xn :   a1,1 x1 + a1,2 x2 + . . . + a1,n xn = b1     a2,1 x1 + a2,2 x2 + . . . + a2,n xn = b2 . .   .    an,1 x1 + an,2 x2 + . . . + an,n xn = bn

(3.1)

onde os coeficientes aij e as constantes bi são números reais.

Denominamos o conjunto de todas as possíveis soluções de um sistema linear de conjunto solução. Dados dois sistemas lineares, dizemos que os dois são equivalentes se possuirem o mesmo conjunto solução. Sob um ponto de vista geométrico, consideramos cada variável xi nas equações como a i-ésima componente de um ponto no Rn . Dessa forma, uma vez escolhida uma variável xj , cada equação do sistema relaciona xj às demais variáveis. Ou seja, cada equação representa um subespaço de dimensão n − 1 contido no Rn . O conjunto solução é formado pela