Análise Real

Aluno: Felipe Pereira Evangelista

Relatório do Livro

Petrolina, Janeiro de 2014.
Cap. 6 – Limites de funções
6.1. Definição e primeiras propriedades
Sejam um conjunto de números reais, uma função real com domínio e , um ponto de acumulação de . é o limite de quando tende para , com notação , quando se pode obter , para todo , tal que se tem toda vez que e .

Em suma, diz que pode ficar muito próximo de a ponto de até ser considerado nos cálculos, quando for também muito próximo de .
Há algumas observações a serem feitas: quer dizer que tem que ser diferente de ,ou seja, o valor de não importa;
O valor não precisa fazer parte de , precisando apenas ser um ponto de acumulação.
Quando , , negar que quer dizer que existe um numero que para todo há sempre tal que e .
Teorema 6.1.1. Sejam , , e se , existe tal que para todo com .
A substituição de por , não é válida neste teorema.
O teorema 6.1.1 acarreta as seguintes informações:
Se então existe tal que para todo com .
Sejam e Se para todo então .
Teorema 6.1.2. Teorema do Sanduiche: Sejam , e . Se para todo , então .
Vale ressaltar que a noção de limite é local, pois dadas 2 funções e dado , se houver uma vizinhança de tal forma que para todo , então existe em se, e somente se, existe .
Teorema 6.1.3. Seja , . A fim de que seja é necessário e suficiente que, para toda sequencia de pontos com , tenha-se .
Esse teorema trás as seguintes propriedades:
Unicidade do limite: sejam , . Se e , logo .
Operações com limites: sendo , , com e . então:

Teorema 6.1.4. Seja , . Se existe então é limitada numa vizinhança de , ou seja, já e de forma que com .
Este teorema transmite de forma mais geral a ideia de que toda sequencia convergente é limitada.

6.2. Limites Laterais
Quando toda a vizinhança contém , diz-se que é um ponto de acumulação de à direita, . Da mesma forma, para todo , têm-se . Para