Análise real

Universidade Federal do Pará
Exercícios de Análise Real
1. Seja f : [0, 1] → R,uma função contínua, cujo contradomínio está contido em [0, 1]. Supondo que f é diferenciável em ]0, 1[ e que f (x) =
1, ∀x ∈]0, 1[, prove que a equação f (x) = x tem uma única solução no intervalo [0, 1].
Prova: Sabemos que f é diferenciável em ]0, 1[ e que f (x) = 1, ∀ → x ∈]0, 1[. Se existirem dois pontos distintos a, b ∈ [0, 1] com a < b tais que f (a) = a e f (b) = b, então a função g(x)=f(x)-1 é contínua em
[a, b] e diferenciável em ]a, b[ e g (a) = g (b) = 0.
Pelo Teorema de Rolle, existe c ∈]a, b[, tal que g (c) = 0, ou seja, f (c) = 1, o que contradiz a hipótese f (x) = 1, ∀ → x ∈]0, 1[, logo f (x) = x tem uma única solução em [0, 1].
2. Mostre que

√

1
1 + x < 1 + x, se x > 0
2
Prova 1: Vamos usar o Teorema do Valor Médio.
√
1
Façamos f (x) = 1 + x, assim f (x) = √
.
2 1+x
1
Se x > 0,então f (x) < .
2
Desde que f é contínua e derivável para x > 0, pelo T.V.M podemos tomar qualquer o intervalo (a, b) tal que existe c ∈ (a, b), onde f (c) =

f (b) − f (a) b−a 1
Se x > 0 e como f (x) < , temos
2
f (b) − f (a)
1
< b√ a
−
2
√
1
1+b− 1+a
<
b−a
2
√
√
1
1 + b − 1 + a < (b − a)
2
1

Fazendo b = x,segue-se
√

1+x−

Para a = 0

√

1
(x − a)
2
√
√
1
1
1+x <
1+a+ x− a
2
2
1+a <

√

1
1+x 0, pelo T.V.M existe c ∈ (0, x), onde f (x) − f (0) f (c) = x−0 isto é,
√
1
1+x−1
√
,
= x 2 1+c o que é equivalente a
√
x
√
+1= 1+x
2 1+c
Façamos f (x) =

Como c>0, vem que x x
√
+1< √
+1
2 1+c
2 1+0
√
1 logo, 1 + x < 1 + x
2
3. Encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor
Médio na função f (x) = e−2x , [0, 3]
Prova Note que f (0) = 1, f (3) = e−6 , além disso, como f (x) =

2

−2e−2x ,então f (c) = −2e−2c ,pelo T.V.M e−6 − 1
−2e
=
3−0
1 − e −6
−2c
e
=
6
1 − e−6
−2c
ln(e ) = ln
6
−2c

Portanto

1 c = − ln[1/6(1 − e−6 )]
2

4. Mostre que se