aluminio

Exemplos:
1. A função f : R ! R definida por f(x) = |x| pertence à classe C0(R) mas não pertence à classe C1(R).
2. A função g : R ! R definida por g(x) = |x|3 pertence à classe C3(R) mas não pertence à classe C4(R).
3. A função h : R ! R definida por h(x) = ex pertence à classe C1(R).
1.4 Operadores diferenciais lineares
Demonstra-se que o conjunto F = Cn(R) de todas as funções reais n vezes continuamente diferenciáveis, é um espaço vetorial sobre R. Para cada f 2 F, definimos o operador diferencial D : F ! F por
D(f) = f0 sendo D0(f) = f. Para cada k = 1, 2, 3, ..., n, definimos o operador diferencial recursivo Dk : F ! F por
Dk(f) = D[Dk−1(f)] = f(k) que representa a derivada de ordem k da função f 2 F.
1.5 Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n 3
Demonstra-se que são lineares estes operadores diferenciais Dk : F !
F, isto é, para quaisquer f, g 2 F e para quaisquer a, b 2 R:
Dk(af + bg) = a Dk(f) + b Dk(g)
Exemplo: O operador L = x5D2 + exD + sin(x)I é linear sobre o espaço vetorial F = C2(R), pois para para quaisquer f, g 2 F e para quaisquer números reais a e b, vale a identidade
L(af + bg)  a L(f) + b L(1.5 Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma a0(x) y(n) + a1(x) y(n−1) + a2(x) y(n−2) + ... + an(x) y = b(x) onde as funções b = b(x) e ak = ak(x) (k = 0, 1, 2, ..., n), são funções conhecidas sendo a0 = a0(x) não identicamente nula e todas estas funções devem depender somente da variável x. A função (incógnita) desconhecida é y = y(x).
Em virtude das informações da seção anterior, é possível definir o operador diferencial linear
L = a0(x) D(n) + a1(x) D(n−1) + a2(x) D(n−2) + ... + an(x) I e assim a equação diferencial acima terá a forma simplificada
L(y) = b(x) e este é o motivo pelo qual, a equação diferencial acima recebe o nome de linear.
1.6 Solução de uma Equação Diferencial
Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz