algebra

Uma Aplica»c~ao de Algebra ¶ Linear µa Engenharia Civil:
Projeto de Estrutura Met¶alica
Prof. Ricardo Takahashi { DMAT
Considere o problema do projeto de uma estrutura met¶alica como esbo»cada na Figura 1. Trata-se de um guindaste que dever¶a i»car cargas. O problema consiste em determinar qual ¶e o esfor»co mec^anico em cada viga da estrutura, de modo que se possa escolher as vigas com a resist^encia adequada.
PSfrag replacements
F1 F2
1 2
3 4
5 6
Figura 1: Diagrama de estrutura met¶alica composta de vigas.
O c¶alculo das for»cas que incidem na estrutura, F1 e F2, ¶e imediato, conhecendo-se a massa que ir¶a ser suspensa e o comprimento do bra»co do guindaste. Com essas for»cas, ¶e preciso agora calcular a for»ca exercida por cada viga nos n¶os (pontos de interse»c~ao de duas ou mais vigas) para que a estrutura permane»ca em equil¶³brio. Essas for»cas ser~ao denotadas pelas vari¶aveis fij, em que os¶³ndices indicam os n¶os ligados por esta viga. Assim, por exemplo, a for»ca f41 signi¯ca a for»ca exercida sobre o n¶o 4 pela viga que liga o n¶o 4 ao n¶o
1.
A somat¶oria das for»cas em cada n¶o, de 1 a 6, deve ser nula tanto na dire»c~ao horizontal quanto na dire»c~ao vertical. Para montar o conjunto de equa»c~oes, tomemos como exemplo o n¶o 1. O n¶o 1 ¶e afetado pelas vigas que o ligam aos n¶os 2, 3 e 4. As equa»c~oes que implicam no equil¶³brio de for»cas sobre o n¶o 1 s~ao: f12 cosµ12 + f13 cosµ13 + f14 cosµ14 = F1 f12 sin µ12 + f13 sin µ13 + f14 sin µ14 = 0
(1)
1sendo que µij representa o angulo ^ entre a viga (ij) e a vertical. Construindo cada equa»c~ao da somat¶oria das for»cas em cada um dos n¶os, obt¶em-se o seguinte conjunto de equa»c~oes: f12 cosµ12 + f13 cosµ13 + f14 cosµ14 = F1 f12 sin µ12 + f13 sin µ13 + f14 sin µ14 = 0 f21 cosµ21 + f23 cosµ23 + f24 cosµ24 = F2 f21 sin µ21 + f23 sin µ23 + f24 sin µ24 = F2 f31 cosµ31 + f35 cosµ35 + f32 cosµ32 + f36 cosµ36 = 0 f31 sin µ31 + f35 sin µ35 + f32 sin µ32 + f36 sin µ36 = 0
f41