Algebra

QUESTÃO 3 LETRA A E B
a)

3(x,y,z) + 2(-1,-2,3) = (x,y,z) + [(2-4,(-2)-0,1-(-1)).(2,1,1)].(-1,-2,3)
(3x,3y,3z)+(-2,-4,6)=(x,y,z)+[(-2,-2,2…
(3x-2,3y-4,3z+6)=(x,y,z)+(-2.2+(-2).1+…
(3x-2,3y-4,3z+6)=(x,y,z)+(-4-2+2).(-1,…
(3x-2,3y-4,3z+6)=(x,y,z)+(-4).(-1,-2,3…
(3x-2,3y-4,3z+6)=(x,y,z)+(4,8,-12)
(3x-2,3y-4,3z+6)=(x+4,y+8,z-12)

3x-2=x+4
3y-4=y+8
3z+6=z-12

3x-x=4+2
3y-y=8+4
3z-z=-12-6

2x=6
2y=12
2z=9

x=3 y=6 z=-9

b)

[(1-2,3-(-2),2-1).(-1,-2,3)].(x,y,z)=[… - 3(x,y,z)
[(-1,5,1).(-1,-2,3)].(x,y,z)=(2.(-1)+1… - (3x,3y,3z)
(-1.(-1)+5.(-2)+1.3).(x,y,z)=(-2-2+3).… - (3x,3y,3z)
(1-10+3).(x,y,z)=(-1).(-1,-2,3) - (3x,3y,3z)
(-6).(x,y,z)=(1,2,-3) - (3x,3y,3z)
(-6x,-6y,-6z)=(1-3x,2-3y,-3-3z)

-6x=1-3x
-6y=2-3y
-6z=-3-3z

-6x+3x=1
-6y+3y=2
-6z+3z=-3

-3x=1
-3y=2
-3z=-3

x=-1/3 y=-2/3 z=1

QUESTÃO 5
Acho que por v,w, vc quis dizer o produto interno v com w, que é <v,w>.

Assim, se v = (x,y), fazemos:

Como <v,w> = <(x,y),(1,2)> = x + 2y = 6. Assim, como |v| = raiz(x^2 + y^2) = 5, resultando em x^2 + y^2 = 25

Como x = 6 - 2y, então (6 - 2y)^2 + y^2 = 25.

36 - 24y + 4y^2 = 25
4y^2 - 24y + 11 = 0
Delta = 24^2 - 16.11 = 576 - 176 = 400

y = (24 +- 20)/8, resultando em y' = 44/8 = 11/2 = 5,5 e y'' = 4/8 = 1/2 = 0,5

Com esses valores, x' = 6 - 2.5,5 = -5 e x'' = 6 - 2.0,5 = 5.

Agora qualquer dos dois vetores encontrados (-5 , 5,5) e (5 , 0,5) não é ortogonal ao eixo Ox. Na verdade as informações |v| = 5, <v,w> = 6 e v ortogonal a Ox são inconsistentes, não podem ocorrer simultaneamente.
QUESTÃO 6 v = (x,y,z)

tomando que v é ortogonal a Oy pegamos j =(0,1,0)

e façamos j . v =0

entao vemos que y = 0

3x + y - 2z =8
-x +y +z = -3

3x - 2z =8
-x + z =-3

x = 2 z = -1

entao v = (2,0,-1)
QUESTÃO 15 a = αi + 2j -4k = (α, 2, -4) e b = 2i+(1 - 2α)j+3k = (2, 1 - 2α, 3)

Sendo que os vetores a e b serão ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for nulo.