algebra booleana

Páginas: 12 (2911 palavras) Publicado: 24 de novembro de 2013
Álgebra booleana
Teoremas e propriedades
Teoremas de De Morgan
!(X + Y) = !X . !Y
!(X . Y) = !X + !Y

Exemplo
F
F
F
F

=
=
=
=

!( (!A + C).(B + !D) )
!(!A + C) + !(B + !D)
!!A.!C + !B.!!D
A.!C + !B.D

(De Morgan)
(De Morgan)
(Complementação)

Pode ser estendido para mais de duas variáveis
!(X + Y + Z) = !X . !Y . !Z
!(X . Y . Z) = !X + !Y + !Z

123

Álgebrabooleana
Teoremas e propriedades
Exemplo
F
F
F
F
F
F
F
F

=
=
=
=
=
=
=
=

!(A + B).(!A + !B)
(!A.!B).(!A + !B)
(!A.!B).!A + (!A.!B).!B
!A.(!A.!B) + !B.(!A.!B)
!A.!A.!B + !B.!A.!B
!A.!A.!B + !B.!B.!A
!A.!B + !A.!B
!A.!B

(Versão 1)
(De Morgan)
(Distributividade)
(Comutatividade)
(Associatividade)
(Comutatividade)
(AND: X.X = X)
(OR: X + X = X)

124

Álgebrabooleana
Teoremas e propriedades
OR
X+
X+
X+
X+

0=X
1=1
X=X
!X = 1

AND
X.0=0
X.1=X
X.X=X
X . !X = 0

!!X = X
X+Y=Y+X
X.Y=Y.X
X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z
X.(Y.Z) = (X.Y).Z = X.Y.Z
X.(Y + Z) = X.Y + X.Z
X + Y.Z = (X + Y) . (X + Z)
X + X.Y = X
!(X + Y) = !X . !Y
!(X . Y) = !X + !Y

(Complementação)
(Comutatividade)
(Comutatividade)
(Associatividade)(Associatividade)
(Distributividade)
(Distributividade)
(Absorção)
(De Morgan)
(De Morgan)
125

Álgebra booleana
Teoremas e propriedades
Exercício
F
F
F
F
F
F

=
=
=
=
=
=

!( !(A + B).!(!C+ B) )
!!(A + B) + !!(!C + B)
(A + B) + (!C + B)
A + B + !C + B
A + B + B + !C
A + B + !C

(De Morgan)
(Complementação)
(Comutatividade)
(Comutatividade)
(OR: X + X = X)

126 Álgebra booleana
Teoremas e propriedades
Exercício
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

A.B.!(!A + B.C)
A.B.(!!A.!(B.C))
A.B.(A.!(B.C))
A.B.(A.(!B + !C))
A.B.(A.!B + A.!C)
A.B.A.!B + A.B.A.!C
A.A.B.!B + A.A.B.!C
A.B.!B + A.B.!C
A.0 + A.B.!C
0 + A.B.!C
A.B.!C

(De Morgan)
(Complementação)
(De Morgan)
(Distributividade)
(Distributividade)(Associatividade)
(AND: X . X = X)
(AND: X . !X = 0)
(AND: X . 0 = 0)
(OR: X + 0 = X)

127

Álgebra booleana
Teoremas e propriedades
Exercício
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

!(C.!B).(A + !C.!A).B
(!C + !!B).(A + !C.!A).B
(De Morgan)
(!C + B).(A + !C.!A).B
(Complementação/AND: X.X = X)
(!C + B).((A + !C).(A + !A)).B
(Distributividade)
(!C + B).((A +!C).(1)).B
(OR: X + !X = 1)
(!C + B).(A + !C).B
(AND: X . 1 = X)
B.(!C + B).(A + !C )
(Comutatividade)
(B.!C + B.B).(A + !C)
(Distributividade)
(B.!C + B).(A + !C)
(AND: X.X = X)
B.(A + !C)
(Absorção: X + X.Y = X)

128

Álgebra booleana
Teoremas e propriedades
Exercício
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

!(A.B) + !(!A + B).C.!A + A
!A + !B + !(!A +B).C.!A + A
!A + !B + (!!A.!B).C.!A + A
!A + !B + A.!B.C.!A + A
!A + !B + A.!A.!B.C + A
!A + !B + 0.!B.C + A
!A + !B + 0 + A
!A + !B + A
!A + A + !B
1 + !B
1

(De Morgan)
(De Morgan)
(Complementação)
(Comutatividade)
(AND: X.!X = 0)
(AND: X.0 = 0)
(OR: X + 0 = X)
(Comutatividade)
(OR: X + !X = 1)
(OR: X + 1 = 1)

Independente da combinação das entradas, F é sempre igual a 1129

Álgebra booleana
Programação
if ( idade > 18 || (idade > 18 && peso < 100) )
printf(“...”);

Equivalentes

if ( idade > 18 )
printf(“...”);

130

Álgebra booleana
Programação

True or False

if ( idade > 18 || (idade > 18 && peso < 100) )
printf(“...”);

Variáveis booleanas
I = idade > 18
P = peso < 100

Equação
E
E
E
E
E
E

=
=
=
=
=
=

I + (I.P)I.1 + I.P
I.(1 + P)
I.(1)
I
I

( idade > 18 || (idade > 18 && peso < 100) )
(AND: X.1 = X)
(Distributividade)
(OR: X + 1 = 1)
(AND: X.1 = X)
(idade > 18)
131

Álgebra booleana
Programação
if ( digito == 0 || (digito != 0 && tempo > 100) )
printf(“fim”);

Equivalentes

if (digito == 0 || tempo > 100) )
printf(“fim”);

132

Álgebra booleana
Programação

True or...
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