Algebra Booleana

História[editar]

Recebeu o nome de boleana em homenagem a George Boole, matemático inglês, que foi o primeiro a defini-las como parte de um sistema de lógica em meados do século XIX. Mais especificamente, a álgebra booleana foi uma tentativa de utilizar técnicas algébricas para lidar com expressões no cálculo proposicional. Hoje, as álgebras booleanas têm muitas aplicações na electrônica. Foram pela primeira vez aplicadas a interruptores por Claude Shannon, no século XX.
Definição[editar]

Uma álgebra booleana é uma 6-upla (X, \vee, \wedge, \neg, 0, 1) consistindo de um conjunto X munido de duas operações binárias \vee (também denotado por +, é geralmente chamado de "ou") e \wedge (também denotado por \ast ou por \cdot, é geralmente chamado de "e"), uma operação unária \neg (também denotada por \sim ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes 0 (também denotada por \bot ou por F, geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e 1 (também denotada por \top ou por V, geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer a, b, c \in X:
Propriedades Associativas
(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)
(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)
Propriedades Comutativas a \vee b = b \vee a a \wedge b = b \wedge a
Propriedades Distributivas a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c) a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)
Elementos Neutros a \vee 0 = a a \wedge 1 = a
Elementos Complementares a \vee \neg a = 1 a \wedge \neg a = 0
Alguns autores também incluem a propriedade 0 \neq 1, para evitar a álgebra booleana com somente um elemento.
Exemplos[editar]

O exemplo mais simples de álgebra booleana com mais de um elemento é o conjunto \{0, 1\} munido das seguintes operações: \vee 0 1 0 0 1 1 1 1 \wedge 0 1 0 0 0 1 0