ALGA sistemas parte III

Sistemas Lineares
Equação linear é toda equação da forma a1x 1

a2 x 2

an x n

b onde

a1, a 2 , , a n são números reais chamados de coeficientes das incógnitas x1, x 2 ,

xn e b é

um número real chamado termo independente.
Quando b = 0, a equação é dita linear homogênea.
São exemplos:
(1) 3x

2y + 4z = 7

(2) x + 3y

z + 2t = 0 (homogênea)

Um conjunto de equações lineares da forma: a11x 1

a12 x 2

a13 x 3

a1n x n

a 21x 1

a 22 x 2

a 23 x 3

a 2n x n

a m1x 1

am2 x 2

a m3 x 3

a mn x n

b1 b2 bm

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
Chama-se solução do sistema à n-upla de números reais ordenados
(r1, r2 ,

, rn ) .

Matrizes associadas a um Sistema Linear
Matriz incompleta é a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Matriz completa é a matriz B, que se obtém ao acrescentar à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Veja o exemplo: Seja o sistema
2x 3 y z 0
4x y z 7
2x y z 4

Matriz incompleta

A

2 3
4 1
2 1

1
1
1

Matriz completa

B

2 3 -1 0
4 1 1 7
-2 1 1 4

Sistema homogêneo
Um sistema é dito homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.
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Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções
Um sistema linear pode se classificado como:
Possível

determinad o (solução única) indetermin ado (infinitas soluções)

Impossível (não tem solução)

Alguns exemplos numéricos:

Possível e determinado:

Possível e indeterminado:

Impossível:

x

y x y

x y 8
2x y 1 x y 8
3 x 3 y 24

10
10

Sistema Normal
Um sistema é dito normal quando o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero (det (A)

0) . Todo sistema normal é possível e determinado, portanto, tem