Abc abc

Páginas: 8 (1756 palavras) Publicado: 12 de junho de 2013
Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica da USP MAT 2455 - C´lculo Diferencial e Integral III para Engenharia a Prova 3 - 1o semestre de 2012 Quest˜o 1: a (a) (1,5 ponto) Calcule a massa da superf´ x2 + y 2 − z 2 = 1 limitada pelos planos z = 2 e ıcie z = 4, onde a densidade de massa ´ δ(x, y, z) = z. e (b) (2 pontos) Calcule
S

zx dy ∧ dz +

y2 zy dz ∧ dx + dx ∧ dy, onde 2 2

S = {(x, y,z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 4, x2 + y 2 ≤ 2x, z ≥ 0} orientada pela normal N com N · k > 0. Solu¸˜o: ca (a) Como os dois planos est˜o em z > 0, temos que a superf´ em quest˜o ´ parte da parte a ıcie a e superior do hiperbol´ide de uma folha. Sendo assim, podemos escrever sua equa¸ao como o c˜ 2 + y 2 − 1. z= x Assim podemos parametrizar a super´ S da seguinte forma: ıcie σ(u, v) = (u, v, √ u2 + v2 − 1)

Para encontrar os valores de (u, v) em que a superf´ S ´ definida, realizamos a interıcie e sec¸ao do hiperbol´ide com cada um dos planos. Assim temos: c˜ o x2 + y 2 − z 2 = 1 ⇒ z=2 x2 + y 2 − z 2 = 1 ⇒ z=4 x2 + y 2 = 5

x2 + y 2 = 17

Sendo assim, temos que a regi˜o R na qual a superf´ S ´ definida ´: a ıcie e e R = {(u, v) ∈ R2 | 5 ≤ u2 + v 2 ≤ 17} Calculando σu ∧ σv : u + v2 − 1 vσv = 0, 1, √ u2 + v 2 − 1 u v σu ∧ σv = − √ , −√ ,1 u2 + v 2 − 1 u2 + v 2 − 1 σu = 1, 0, √ u2 ||σu ∧ σv || = v2 u2 + 2 +1= u2 + v 2 − 1 u + v 2 − 1 1 2u2 + 2v 2 + 1 u2 + v 2 − 1

Sendo assim, aplicando a defini¸ao de integral de superf´ de um campo escalar: c˜ ıcie

z dS =
S R

z(σ(u, v))||σu ∧ σv || du dv =
R



u2 + v 2 − 1 ·

2u2 + 2v 2 − 1 du dv u2 + v 2 − 1

Realizando aseguinte mudan¸a para coordenadas polares: c x = ρ cos θ y = ρ sin θ |J| = ρ
2π √ √ 17

=
0

ρ
5

2ρ2 − 1 dρ dθ

Realizando uma mudan¸a de vari´vel: w = 2ρ2 − 1 ⇒ dw = 4ρdρ c a 1 = 2π 4
33 9



1 2w 2 w dw = 2π 4 3

3

33

=
9

√ π √ (33 3 − 27) = π(11 33 − 9) 3

2

(b) Como a superf´ est´ em z ≥ 0, temos que a superf´ em quest˜o ´ parte da parte supeıcie a ıcie a e riorde uma esfera. Sendo assim, podemos escrever sua equa¸˜o como z = 4 − x2 − y 2 . ca Assim podemos parametrizar a super´ S da seguinte forma: ıcie σ(u, v) = (u, v, √ 4 − u2 − v 2 ), (u, v) ∈ R

R = {(u, v) ∈ R2 | u2 + v 2 ≤ 2u} Calculando σu ∧ σv : u u2 + v 2 − 1 v σv = 0, 1, √ u2 + v 2 − 1 v u ,√ ,1 σu ∧ σv = √ 4 − u2 − v 2 4 − u2 − v 2 σu = 1, 0, √ Como σu ∧ σv · k > 0, a orienta¸˜o do vetornormal est´ de acordo com o enunciado. ca a Sendo assim, aplicando a defini¸ao de integral de superf´ de um campo vetorial: c˜ ıcie F · N dS =
S R

F (σ(u, v)) · σu ∧ σv du dv =
R

(u2 + v 2 ) du dv

Realizando a seguinte mudan¸a para coordenadas polares: c u = ρ cos θ v = ρ sin θ |J| = ρ
π 2

2 cos θ

=
−π 2 0

ρ · ρ dρ dθ =

2

π 2

−π 2

ρ4 4

2 cos θ

π 2

dθ = 4
0−π 2

cos4 θ dθ

Como o integrando ´ uma fun¸˜o par e o intervalo de integra¸ao ´ sim´trico: e ca c˜ e e
π 2 π 2 π 2

=8
0

cos θ dθ = 8
0

4

1 + cos(2θ) 2

2

dθ = 2
0

(1 + 2 cos(2θ) + cos2 (2θ)) dθ

=2 θ

π 2

0

sin(2θ) +2 2

π 2

π 2

+
0

0

1 + cos(4θ) π 1 π sin(4θ) dθ = +0+ + 2 2 2 2 4

π 2

=2

0

3π 3π = 4 2

OBS: Outra mudan¸a de vari´velpode ser u = cos x + 1 e v = sin x c a

3

Quest˜o 2. (3 pontos) Calcule a
S

F · N dS onde F (x, y, z) =

(x, y, z)
3

e S ´ e

x2 + y 2 + z 2

parte da superf´ ıcie x2 + y 2 = (z + 1)2 entre z = 0 e z = 2, orientada de modo que N · k > 0. Solu¸˜o: ca Calculamos primeiro que div(F ) = 0, o que sugere o uso do teorema da divergˆncia de Gauss. e Observe por´m que o campo F tem umasingularidade no ponto origem (0, 0, 0), portanto s´ e o poderemos usar o dito teorema em uma regi˜o que n˜o contenha esse ponto. Logo consideremos a a a regi˜o a U = {(x, y, z) ∈3 | x2 + y 2 + z 2 ≥ 0, x2 + y 2 ≤ (z + 1)2 , z ≤ 2}. Pelo teorema da divergˆncia temos e F · N dS =
∂U U

div(F )dV = 0,

onde ∂U denota a fronteira de U, orientada com o normal unit´rio exterior. Tal...
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