Matemática para engenheiros

por conveniˆ ncia – uma conveniˆ ncia muito grande. e e Invariˆ ncia do Produto Escalar sob Rotacoes a ¸˜ ´ ´ Ainda n˜ o mostramos que a palavra escalar e justificada ou que o produto escalar e, de fato, uma quantidade a escalar. Para fazer isso, investigamos o comportamento de A · B sob a rotacao do sistema de coordenadas. Pela ¸˜ “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 12 — #22 12 F´sica Matem´ tica ı a Arfken • Weber Figura 1.9: Um vetor normal. utilizacao da Equacao (1.15), ¸˜ ¸˜ Ax Bx + Ay By + Az Bz = i axi Ai j axj Bj + i ayi Ai j ayj Bj (1.27) + i azi Ai j azj Bj . Usando os ´ndices k e l para somar xy e z, obtemos ı Ak Bk = k l i j ali Ai alj Bj , (1.28) e, rearranjando os termos do lado direto, temos Ak Bk = k l i j (ali alj )Ai Bj = i j δ ij Ai Bj = i Ai Bi . (1.29) ´ As ultimas duas etapas s˜ o executadas utilizando a Equacao (1.18), a condicao de ortogonalidade dos co-senos a ¸˜ ¸˜ ´ diretores e as Equacoes (1.20), que definem o delta de Kronecker. O efeito do delta de Kronecker e cancelar todos ¸˜ os termos de um somat´ rio para qualquer ´ndice, exceto para o termo cujos ´ndices s˜ o iguais. Na Equacao (1.29) o ı ı a ¸˜ ´ ´ seu efeito e estabelecer j = i e eliminar o somat´ rio em j. E claro que tamb´ m pod´amos, da mesma forma, o e ı estabelecer i = j e eliminar o somat´ rio em i. A Equacao (1.29) nos d´ o ¸˜ a Ak Bk = k i Ai Bi , (1.30) ´ que e exatamente a nossa definicao…

conjuntos de vetores unit´arios em que s˜ao ortonormais por conveniˆencia – uma conveniˆencia muito grande. Invariˆancia do Produto Escalar sob Rotac¸o˜ es Ainda n˜ao mostramos que a palavra escalar e´ justificada ou que o produto escalar e´ , de fato, uma quantidade escalar. Para fazer isso, investigamos o comportamento de A · B sob a rotac¸a˜ o do sistema de coordenadas. Pela “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 12 — #22 12 Arfken • Weber F´ısica Matem´atica Figura 1.9: Um vetor…

próxima iteração do algoritmo, conforme descrito. A seqüência de soluções experimentais geradas por repetidas iterações converge para uma solução ótima para o problema original e, portanto, o algoritmo pára assim que as soluções experimentais sucessivas estiverem suficiente próximas entre si para ter basicamente atingido essa solução ótima. trita de uma variá- ~ Logistics Quarterly, ~ io quadrática, esse al~ x'), em que essas derivadas parciais são calculadas em x = x'. Pelo fato de…