ética profissional

SÉRIES NUMÉRICAS;

UMA INTRODUÇÃO

CEFET – Ba
TEMA: Séries Numéricas
Profa. Edmary Barreto

Introdução

Estritamente falando, a operação de adição só faz sentido quando aplicada a um par de números reais. Porém, devido à propriedade associativa em IR , podemos efetuar uma soma de 3, 4 , 5 , ...,100 ou mais números, sem incorrer em erros. Por exemplo, podemos obter a soma 2 + 3 + 7 como 2 + 3 + 7 = (2 +3) + 7 , ou então como 2 + 3 + 7 = 2 +(3 + 7), o resultado é o mesmo. Mas, como somar infinitos números, como obter a soma de infinitas parcelas ? No que se segue, vamos estender o conceito de adição para uma infinidade de números e definir o que significa tal soma. Chamaremos estas “somas infinitas” de séries.

Breve Histórico

Exemplos de somas infinitas surgiram há séculos. A fim de obter a área de um segmento parabólico, Arquimedes ( 250 a.C.) necessitou calcular a soma da progressão 1 + ¼ + (¼)2 + (¼)3 + ... = 4/3 . Embora seu cálculo não tenha sido feito por processos infinitos, que eram mal vistos em seu tempo, este foi um dos primeiros cálculos de somas infinitas. Por volta de 1350, utilizando “processos infinitos”, R. Suiseth (mais conhecido como Calculator) resolveu um problema sobre latitude de formas , equivalente matematicamente ao cálculo da soma

(Calculator deu uma longa prova verbal, pois não conhecia representação gráfica)

Nesta mesma época, N. Oresme (C. Boyer, pg. 182) deu a primeira prova que a chamada “série harmônica” é divergente, ou seja,

, agrupando seus termos de modo conveniente, a saber:

Como cada parcela entre parênteses é  ½ , temos que a soma de todas as parcelas pode ser majorada por uma infinidade de parcelas iguais a ½ , que tem soma infinita.

Outros avanços relacionados com séries foram obtidos (em 1668) por J. Gregory e N. Mercator , que trabalharam as chamadas “séries de potências de x” . Estas séries foram usadas